Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Bá Thước, Thanh Hóa

Câu I

4,0 điểm

1)
Cho biểu thức: $A = \left(\dfrac{x+1}{x^3+1} - \dfrac{1}{x - x^2 - 1} - \dfrac{2}{x+1}\right) : \dfrac{x^3 - 2x^2}{x^3 - x^2 + x}$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức A.
2. b)
  Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
2)
Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

$a^2(b+c) = b^2(c+a) = 2023. \quad \text{Tính } M = c^2(a+b)$

Câu II

4,0 điểm

1)
Tìm x biết: $(x-1)x(x+1)(x+2) = 24$
2)
Tìm $a, b$ đôi một khác nhau thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

$a^3 - 3a^2 + 5a - 2023 = 0; \quad b^3 - 3b^2 + 5b + 2017 = 0; \quad \text{và } a - b = 4$

Câu III

4,0 điểm

1)
Tìm x, y nguyên thoả mãn: $5x^4 + y^2 - 4x^2y - 85 = 0$
2)
Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn $x^2 + y^2 = 2z^2$ .

Chứng minh rằng $x^2 - y^2$ chia hết cho 48.

Câu IV

6,0 điểm

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, có $\widehat{ABC} = 75^0$ , trên cạnh AC lấy 2 điểm E và P sao cho $\widehat{ABE} = \widehat{EBP} = \widehat{PBC}$ , Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng BP, đường thẳng CI cắt BE ở F

1)
Chứng minh: $\Delta ECF$ cân
2)
Trên tia đối tia EB lấy điểm K sao cho EK = BC, tính số đo các góc của $\Delta BCK$
3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên BK, D là trung điểm của đoạn CH, L là hình chiếu vuông góc của H trên BD. Chứng minh KL vuông góc với LC

Câu V

2,0 điểm

Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn $x + y + z = 0$ và $-1 \le x \le 1$ , $-1 \le y \le 1$ , $-1 \le z \le 1$ .

Tìm giá trị lớn nhất của $A = x^{24} + y^{12} + z^{2024}$