Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Trường THCS Công Liêm, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức: $P = \left(\frac{x+1}{3x^2+3x} + \frac{1-2x}{6x^2-3x} -1\right) : \frac{1-x}{2x}$

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $P$ có giá trị nguyên.
c)
Tìm $x$ để $P \le 1$ .

Câu 2

4,0 điểm

a)
Giải phương trình sau: $\frac{1}{x^2-2x+2} + \frac{2}{x^2-2x+3} = \frac{6}{x^2-2x+4}$
b)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $5x^2 - xy - 2y = 17$

Câu 3

4,0 điểm

a)
Cho $a + b + c = 1$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ .

Chứng minh rằng nếu $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ thì $xy + yz + xz = 0$ .
b)
Cho $A = n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2$ (với $n \in \mathbb{N}, n > 1$ ). Chứng minh $A$ không phải là số chính phương.
c)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta có $5^{n+2} + 26.5^n + 8^{2n+1} \vdots 59$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho hình thang $ABCD$ $(AB // CD, AB < CD)$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ với $BD$ và $I$ là giao điểm của $DA$ với $CB$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ .

a)
Chứng minh: $\frac{OA+OB}{OC+OD} = \frac{IA+IB}{IC+ID}$ .
b)
Chứng minh: Bốn điểm $I; O; M; N$ thẳng hàng.
c)
Giả sử $3AB = CD$ và diện tích hình thang $ABCD$ bằng $S$ . Hãy tính diện tích tứ giác $IAOB$ theo $S$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}