Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Quốc Oai, Hà Nội

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho $x = 2 - \sqrt{3}$ . Tính $3^{x^{2} - 4x + 3}$
2)
Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mãn: $x^{2} + y = y^{2} + x$ .

Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{x^{2} + y^{2} + xy}{xy - 1}$
3)
Cho $x = 2025^{3} - 2023^{3}$ . Tính $\sqrt{\dfrac{x - 2}{6}}$

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức

$A = \left(\dfrac{x}{x^{2} - 25} + \dfrac{5 - x}{x^{2} + 5x}\right) : \dfrac{2x - 5}{2x^{2} + 10} + \dfrac{2x}{5 - x}, \text{ với } x \neq 0; x \neq \pm 5; x \neq \dfrac{5}{2}.$
2)
Cho a, b, c thỏa mãn: $(3a - 2b)^{2} + |4b - 3c| \le 0$

Tính giá trị của biểu thức $Q = \dfrac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{abc}$
3)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): $(m - 4)x + (m - 3)y = 1$ (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

4,0 điểm

1)
Trong túi đựng 48 viên bi cùng kích thước và khối lượng với hai màu đỏ và xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết rằng xác suất lấy được viên bi đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh. Hỏi trong túi có bao nhiêu viên bi màu đỏ, bao nhiêu viên bi màu xanh?
2)
Giải phương trình: $\dfrac{1}{x^{2} + 2x - 3} = \dfrac{1}{(x + 1)^{2}} + \dfrac{1}{48}$ .
3)
Cho đa thức $A(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với a là số nguyên dương. Biết rằng: $A(5) - A(4) = 2024$ .

Chứng minh: $A(7) - A(2)$ chia hết cho 5

6,0 điểm

Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho $AD = AE$ .

2,0 điểm

Tính độ dài $h$ với các dữ liệu trong hình vẽ.