Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Lâm Thao, Phú Thọ

Thời gian: 120 phút
Số câu: 20 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Cho hai số $a, b$ thỏa mãn $a + b = 1$ . Giá trị của biểu thức $P = 2a^3 + 6ab + 2b^3 - 2$ bằng

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 1$

Câu 2

Đa thức dư trong phép chia đa thức $f(x) = x^{50} + x^{49} + \dots + x^2 + x + 1$ cho đa thức $x^2 - 1$ là

A
$\displaystyle 5x + 26$
B
$\displaystyle 25x + 1$
C
$\displaystyle 25x + 26$
D
$\displaystyle 5x + 1$

Câu 3

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ (với $x, y, z \neq 0$ ). Giá trị của biểu thức $A = \frac{yz}{x^2} + \frac{xz}{y^2} + \frac{xy}{z^2}$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 4$

Câu 4

Cho $\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{3}{8}$ . Giá trị của biểu thức $A = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{3}{8}$
B
$\displaystyle \frac{-8}{3}$
C
$\displaystyle \frac{-1}{7}$
D
$\displaystyle \frac{1}{7}$

Câu 5

Cho biểu thức $A = \left(\frac{x}{x^2 - 4} - \frac{6}{3x - 6} + \frac{1}{x + 2}\right) : \frac{6}{x + 2}, (x \neq \pm 2)$ . Số các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 8$

Câu 6

Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được con bích là

A
$\displaystyle \frac{1}{4}$
B
$\displaystyle \frac{1}{13}$
C
$\displaystyle \frac{12}{13}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$

Câu 7

Nghiệm của phương trình $\frac{3x - 1}{5} - 2 = \frac{2 - 5x}{8}$ là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 8

Cho hai đường thẳng $(d_1): y = -3x + 1$ và $(d_2): y = 2x - 3m + 7$ , với $m$ là tham số. Giá trị của $m$ để đường thẳng $(d_1)$ cắt đường thẳng $(d_2)$ tại một điểm trên trục tung là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 9

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , chiều cao bằng $15\text{cm}$ , thể tích là $1280\text{cm}^3$ . Khi đó diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình chóp là

A
$\displaystyle 548\text{cm}^2$
B
$\displaystyle 542\text{cm}^2$
C
$\displaystyle 544\text{cm}^2$
D
$\displaystyle 546\text{cm}^2$

Câu 10

Cho hình thoi $ABCD$ , biết độ dài hai đường chéo $AC = 24\text{cm}, BD = 10\text{cm}$ . Chu vi hình thoi là

A
$\displaystyle 52\text{cm}$
B
$\displaystyle 48\text{cm}$
C
$\displaystyle 68\text{cm}$
D
$\displaystyle 72\text{cm}$

Câu 11

Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $G$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $DG = \frac{1}{5}DC$ . Gọi $E$ là giao điểm của $AG$ và $BD$ . Kết quả của tỉ số $DB : DE$ là

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 6$

Câu 12

Cho hình thang $ABCD$ có $AB = 5cm, CD = 15cm$ , độ dài hai đường chéo $AC = 16cm, BD = 12cm$ . Diện tích hình thang $ABCD$ bằng

A
$\displaystyle 96cm^2$
B
$\displaystyle 192cm^2$
C
$\displaystyle 100cm^2$
D
$\displaystyle 72cm^2$

Câu 13

Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB = a$ . Một đường thẳng bất kì qua $C$ cắt tia đối của các tia $BA, DA$ lần lượt tại $M$ và $N$ . Khi đó tích $BM.DN$ có giá trị bằng

A
$\displaystyle 2a^2$
B
$\displaystyle a^2$
C
$\displaystyle 3a^2$
D
$\displaystyle 4a^2$

Câu 14

Cho hình thang $ABCD$ có $AB$ là đáy nhỏ, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ và $BC$ theo thứ tự tại $M, N$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{MN}$
B
$\displaystyle \frac{1}{CD} + \frac{1}{MN} = \frac{1}{AB}$
C
$\displaystyle \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{MN}$
D
$\displaystyle \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{MN}{2}$

Câu 15

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AD = 6cm, AB = 8cm$ và hai đường chéo cắt nhau tại $O$ . Qua $D$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $DB$ , $d$ cắt $BC$ kéo dài tại $E$ . Kẻ $CH$ vuông góc với $DE$ tại $H$ . Khi đó tỉ số diện tích $\frac{S_{EHC}}{S_{EBD}}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{4}{5}$
B
$\displaystyle \frac{16}{25}$
C
$\displaystyle \frac{256}{625}$
D
$\displaystyle \frac{25}{16}$

Câu 16

Bạn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi giảm giá $20\%$ , Nam có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên được giảm thêm $2\%$ trên giá đã giảm nữa, do đó Nam chỉ phải trả $196.000$ đồng cho món hàng đó. Giá ban đầu của món hàng nếu không khuyến mãi là

A
$\displaystyle 250.000$
B
$\displaystyle 225.000$
C
$\displaystyle 350.000$
D
$\displaystyle 375.000$

Phần II. Tự luận12,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

1)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $2x^2 - 146 - (x - 3)(2y - 3) = 0$ .
2)
Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n + 7$ và $3n + 10$ là các số chính phương. Chứng minh rằng $n + 3 \vdots 40$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Giải phương trình $(x + 2)^2(2x + 1)(2x + 7) = -5$ .
2)
Cho hai số thực phân biệt $a, b \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{3}{ab} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $A = \left[(a - 1)(b - 1) + 2023\right]^{2024}$ .

Câu 3

4,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $BD.DC = DH.DA$ .
2. b)
  Chứng minh rằng điểm $H$ cách đều ba cạnh của tam giác $DEF$ .
3. c)
  Gọi $M, N, P, Q, I, K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, CA, AB, EF, FD, DE$ . Chứng minh rằng ba đường thẳng $MQ, NI, PK$ đồng quy tại một điểm.
2)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Hai đường phân giác trong $BD, CE$ cắt nhau tại $O$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{BD^2}{BO^2} + \frac{CE^2}{CO^2}$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho hai số $x, y$ thỏa mãn điều kiện $(x^2 - y^2)^2 + 4x^2y^2 + x^2 - 2y^2 = 0$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x^2 + y^2$ .

HẾT