Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2025–2026 — Trường THCS Tân Thọ, Thanh Hóa

Câu 1

3,0 điểm

Tính giá trị các biểu thức sau:

a)
$A = \dfrac{12^{5} - 4^{3}.6^{4}}{2^{11}.3^{4} + 24^{4}} - \dfrac{25^{4}.7^{3} - 5^{8}.49^{2}}{5^{7}.7^{3} + 35^{3}.75^{2}}$
$B = \left(1 + \frac{1}{1.3}\right)\left(1 + \frac{1}{2.4}\right)\left(1 + \frac{1}{3.5}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{98.100}\right)$

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho đa thức $R(x) = x^{2} - 2x$ . Tính giá trị của biểu thức
$S = \frac{1}{R(3)} + \frac{1}{R(4)} + \frac{1}{R(5)} + \dots + \frac{1}{R(2023)} + \frac{1}{2.2023}.$
b)
Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ biết: $\dfrac{x}{7} + 1 = \dfrac{1}{y - 1}$ .

Câu 3

2,0 điểm

Cho các số thực $x, y, z, a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{x}{a + 2b + c} = \dfrac{y}{2a + b - c} = \dfrac{z}{4a - 4b + c}$

Chứng minh rằng $\dfrac{a}{x + 2y + z} = \dfrac{b}{2x + y - z} = \dfrac{c}{4x - 4y + z}$ (với điều kiện mẫu thức khác 0).

Câu 4

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng: Nếu $2n + 1$ và $3n + 1$ đều là số chính phương thì $n \vdots 40$ ( $n \in \mathbb{N}$ )
b)
Cho các số nguyên dương $m, n$ và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn: $\dfrac{p}{m - 1} = \dfrac{m + n}{p}$ .

Chứng minh rằng: $p^{2} = n + 2$ .

Câu 5

2,0 điểm

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B để gặp nhau. Nếu xe thứ nhất đi từ A đến B hết 5 giờ, xe thứ hai đi từ B về A hết 4 giờ, hai xe chuyển động ngược chiều đến chỗ gặp nhau thì xe thứ hai đi được nhiều hơn xe thứ nhất là $40 km$ . Tính quãng đường AB.

Câu 6

5,5 điểm

Cho $\triangle ABC$ nhọn, $AD$ vuông góc với $BC$ tại $D$ . Xác định $I, J$ sao cho $AB$ là trung trực của $DI$ , $AC$ là trung trực của $DJ$ ; $IJ$ cắt $AB; AC$ lần lượt ở $L$ và $K$ . Chứng minh rằng:

a)
$\triangle AIJ$ cân.
b)
$DA$ là tia phân giác của góc $LDK$ .
c)
$BK \perp AC; CL \perp AB$ .
d)
Nếu $D$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$ . Chứng minh rằng góc $IAJ$ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm $D$ trên cạnh $BC$ để $IJ$ có độ dài nhỏ nhất.

Câu 7

1,5 điểm

Cho ba số dương $0 \le a \le b \le c \le 1$ .

Chứng minh rằng

$\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ac + 1} + \frac{c}{ab + 1} \le 2$