Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 7 năm 2026 — Trường THCS Hợp Thành, Thanh Hóa

Câu 1

3,0 điểm

1)
Tính giá trị biểu thức $P = 0,2 : \sqrt{\frac{1}{121}} + \frac{7}{3} \cdot |-15 + 9| - \left(\frac{2025}{2026}\right)^0$ .
2)
Cho $A = 1 + 2^4 + 2^8 + \ldots + 2^{2020} + 2^{2024}$ và $B = 1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{2024} + 2^{2026}$ . Tính $\frac{A}{B}$ .

Câu 2

1,0 điểm

Cho đa thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a, b, c$ là các số hữu tỉ, thỏa mãn $2a - b = 0$ .

a)
Tính $f(-5); f(3)$ .
b)
Chứng minh rằng $f(-5) \cdot f(3)$ không thể là số âm.

Câu 3

3,0 điểm

1)
Tìm $x$ , biết: $\left(9x^2 - 1\right)^2 + \left|x - \frac{1}{3}\right| = 0$ .
2)
Tìm $x, y, z$ , biết: $2x = 3y = 5z$ và $x + 3y - 2z = 99$ .
3)
Tính giá trị biểu thức: $Q = 2026x + y^{2025} + z^{2025}$

Với $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $\frac{y + z + 1}{x} = \frac{x + z + 2}{y} = \frac{x + y - 3}{z} = \frac{1}{x + y + z}$ .

Câu 4

1,0 điểm

Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 51, 52. Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a)
“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số”.
b)
“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.

Câu 5

1,5 điểm

Ba câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh của khối 7 một trường THCS có 66 học sinh. Nếu câu lạc bộ Toán thêm 5 học sinh, câu lạc bộ Ngữ văn bớt đi 1 học sinh, câu lạc bộ Tiếng Anh thêm vào 2 học sinh thì số học sinh mỗi câu lạc bộ đó lần lượt tỉ lệ nghịch với 2; 3; 2. Hỏi mỗi câu lạc bộ có bao nhiêu học sinh?

Câu 6

2,5 điểm

1)
Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn $3xy + 6x - 5y = 17$ .
2)
Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, biết $p + 2$ cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng $p + 1$ chia hết cho 6.

Câu 7

1,0 điểm

Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn, các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ.

hình vẽ bể bơi với các kích thước 25 m, 10 m, 3 m, 1,4 m, 10 m và 8 m

Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước? Biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít nước.

Câu 8

5,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB < AC$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $D$ , sao cho $AD = AB$ . Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ .

a)
Chứng minh $BE = CD; ED = BC$ .
b)
Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $BE, CD$ . Chứng minh $A$ là trung điểm của $PQ$ .
c)
Gọi $M$ là điểm bất kỳ nằm trong tam giác $ABC$ . Xác định vị trí của $M$ để biểu thức $MA.BC + MB.AC + MC.AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 9

1,5 điểm

Viết lên trên bảng 2025 số $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \ldots; \frac{1}{2024}; \frac{1}{2025}$ . Mỗi bước ta xóa đi 2 số $x, y$ bất kỳ trên bảng rồi viết lên bảng số $\frac{xy}{x+y+1}$ (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?