Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Yên Mô, Ninh Bình

Câu 1

4,0 điểm

1)
Thực hiện các phép tính sau:
1. a)
  $\sqrt{11^2 - 72} - 1\dfrac{1}{2} : \sqrt{\dfrac{25}{4}} - \left(\dfrac{2023}{2024}\right)^0$
2. b)
  $\left(\dfrac{-3}{7} + \dfrac{4}{11}\right) : \dfrac{7}{11} + \left(\dfrac{-4}{7} + \dfrac{7}{11}\right) : \dfrac{7}{11}$
3. c)
  $\dfrac{2^{12}.3^5 - 4^6.9^2}{(2^2.3)^6} - \dfrac{5^{10}.7^3 - 25^5.49^2}{(125.7)^3 + 5^9.14^3}$
2)
Cho biểu thức: $A = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{1000^2}$ . Chứng minh rằng $A < \dfrac{25}{36}$ .

4,0 điểm

1)
Tính giá trị biểu thức $A = (x - 2y + z + 25)^{2024}$ biết $3x = 4y = 5z - 3x - 4y$ và $2x + y = z - 19$
2)
Cho $x, y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{x + 2y}{x + y} = \dfrac{2023}{2022}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $x$ .

4,0 điểm

1)
Cho $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} \neq 0$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \dfrac{3x^2 - 10y^2}{3x^2 + 5y^2}$
2)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $x, y$ sao cho: $x + y - 2xy = 4$
3)
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 1 lần, tìm xác suất của mỗi biến cố sau:
1. a)
  “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số nguyên tố”.
2. b)
  “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số”.

6,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABD$ và $ACE$ . Gọi $I$ là giao điểm $BE$ và $CD$ . Chứng minh rằng:
1. a)
  $\Delta ABE = \Delta ADC$ .
2. b)
  $DE = BE$
3. c)
  $\widehat{EIC} = 60^{\circ}$ và IA là tia phân giác của $\widehat{DIE}$
2)
Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn và các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ.
Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước, biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít nước.

2,0 điểm

1)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước $10 \times 10$ (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung cạnh hoặc hai ô chung đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số được ghi ít nhất 17 lần.
2)
Chứng tỏ rằng $S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \cdots + \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ không là số tự nhiên với mọi $n \in \mathbb{N}, n > 2$ .