Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 7 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn, Ninh Bình

Câu 1

5,0 điểm

a)
Tính giá trị biểu thức: $A = 0,2 : \sqrt{\dfrac{1}{121}} + \dfrac{7}{3} \cdot |-15 + 9| - \left(\dfrac{2022}{2023}\right)^0$ .
b)
Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{1.3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{2.4}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3.5}\right) \cdots \left(1 + \dfrac{1}{2021.2023}\right)$ .
c)
Tính giá trị của biểu thức $A = 2022x + y^{2023} + z^{2023}$

Với $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $\dfrac{y + z + 1}{x} = \dfrac{x + z + 2}{y} = \dfrac{x + y - 3}{z} = \dfrac{1}{x + y + z}$

Câu 2

4,0 điểm

1)
Tìm ba số $x, y, z$ thỏa mãn: $4x = 3y$ ; $\dfrac{x}{3} = \dfrac{z}{5}$ và $2x^{2} + 2y^{2} - 3z^{2} = -100$ .
2)
Nhà trường dự định chia vở viết cho 3 lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ theo số học sinh là $7:6:5$ . Nhưng sau đó vì có học sinh thuyên chuyển giữa ba lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ $6:5:4$ . Do đó có lớp đã nhận được ít hơn dự định là 12 quyển. Tính số vở mà mỗi lớp thực tế đã nhận được.
3)
Cho hai đa thức: $f(x) = (x - 1)(x + 3)$ và $g(x) = x^{3} - ax^{2} + bx - 3$

Xác định hệ số $a, b$ của đa thức $g(x)$ biết nghiệm của đa thức $f(x)$ cũng là nghiệm của đa thức $g(x)$

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm x, biết:
1. a)
  $7x^{2} - 35x + 42 = 0$
2. b)
  $|x + 2| + |x + 3| = 4(x - 1) - |x - 1|$
2)
Cho $a, b$ là các số nguyên thỏa mãn $(7a + 5 - 21b)(a + 1 - 3b) \vdots 7$

Chứng minh rằng: $11b + 15 + 43a \vdots 7$ .
3)
Cho biểu thức $P = \dfrac{3 - 2x}{2 - x}$ với $x$ là số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của $P$

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABD$ và $ACE$ . Gọi $I$ là giao điểm $BE$ và $CD$ . Chứng minh rằng:

1)
$\triangle ABE = \triangle ADC$
2)
$DE = BE$
3)
$\widehat{EIC} = 60^{0}$ và $IA$ là tia phân giác của $\widehat{EID}$ .

Câu 5

1,0 điểm

1)
Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số $1; 2; 3; 4$ , hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ cùng một lúc. Tính xác suất của các biến cố sau:
1. a)
  $A$ : “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”.
2. b)
  $B$ : “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.
2)
Tìm các số nguyên $m$ để $(m + 1)(m^{2} + 2m)$ là một số chính phương.