Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Lâm Thao, Phú Thọ

Thời gian: 90 phút
Số câu: 16 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Giá trị của biểu thức: $A = 11^{2024} + 11^{2023} - 11^{2022} \cdot 12$ chia hết cho số nào sau đây

A
$\displaystyle 120$
B
$\displaystyle 144$
C
$\displaystyle 150$
D
$\displaystyle 160$

Câu 2

Cho $a^{2n} = 16$ , với $n$ là số tự nhiên chẵn. Kết quả của phép tính $a^{3n} - 16$ là

A
$\displaystyle 48$
B
$\displaystyle -70$
C
$-70$ hoặc $48$
D
$\displaystyle -48$

Câu 3

Cho $\frac{a - 3}{a} = \frac{b + 15}{b}$ , khi đó tỉ số $\frac{a}{b}$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle \frac{-1}{5}$
C
$\displaystyle -5$
D
$\displaystyle \frac{1}{5}$

Câu 4

Cho 3 số $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{b + c}{a} = 1$ . Giá trị của biểu thức $A = \left(1 - \frac{c}{a}\right)\left(1 - \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)$ là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 5

Cho đa thức $F(x)$ thỏa mãn điều kiện: $x \cdot F(x + 2) = (x + 4) \cdot F(x)$ . Giá trị nào sau đây là nghiệm của đa thức $F(x)$ ?

A
$\displaystyle -2; 0$
B
$\displaystyle 2; 4$
C
$\displaystyle -4; -2$
D
$\displaystyle 0; 2$

Câu 6

Giá trị của biểu thức $M = 20x^{2}y + 12xy^{2}$ với $x, y$ thỏa mãn điều kiện $|2x - 6| + (3y + 1)^{2024} = 0$ là

A
$\displaystyle -64$
B
$\displaystyle -56$
C
$\displaystyle 64$
D
$\displaystyle 56$

Câu 7

Cho $25$ đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được tạo thành là

A
$\displaystyle 1225$
B
$\displaystyle 1200$
C
$\displaystyle 600$
D
$\displaystyle 1300$

Câu 8

Tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^{\circ}$ ; $\widehat{B} = \widehat{C} + 40^{\circ}$ . Kẻ $CK \perp AB$ tại $K$ . Khi đó $\widehat{BCK}$ bằng

A
$\displaystyle 30^{\circ}$
B
$\displaystyle 50^{\circ}$
C
$\displaystyle 20^{\circ}$
D
$\displaystyle 10^{\circ}$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ cân có $AB = 7cm$ , $AC = 1cm$ , khi đó chu vi tam giác $ABC$ bằng

A
$\displaystyle 9cm$
B
$\displaystyle 8cm$
C
$\displaystyle 15cm$
D
$9cm$ hoặc $15cm$

Câu 10

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{\circ}$ , $AM$ là đường trung tuyến. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Biết $BC = 18cm$ , khi đó độ dài đoạn thẳng $AG$ bằng

A
$\displaystyle 9cm$
B
$\displaystyle 12cm$
C
$\displaystyle 6cm$
D
$\displaystyle 27cm$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ có $6\widehat{A}=4\widehat{B}=3\widehat{C}$ . Kết quả nào sau đây là đúng

A
$\displaystyle AB > BC > AC$
B
$\displaystyle AB > AC > BC$
C
$\displaystyle AC > AB > BC$
D
$\displaystyle BC > AB > AC$

Câu 12

Bạn Hạnh tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt sấp là $\frac{4}{9}$ và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là $500$ . Hỏi bạn Hạnh đã tung đồng xu bao nhiêu lần?

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 14$
D
$\displaystyle 45$

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

1.1)
Tìm các số nguyên tố $x, y$ biết $x^{2} - 6y^{2} = 1$ .
1.2)
Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $2xy + 6x^{2} - y - 3x = 11$ .

Câu 2

4,0 điểm

2.1)
Cho các số $x, y, z$ khác $0$ và thỏa mãn điều kiện $\frac{xy}{x+y} = \frac{yz}{y+z} = \frac{zx}{z+x}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{xy}{z^{2}} + \frac{yz}{x^{2}} + \frac{zx}{y^{2}} + \frac{x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x}{x^{3} + y^{3} + z^{3}}$ .
2.2)
Biết đa thức $f(x)$ chia cho $x+3$ thì dư $10$ , chia cho $x-2$ thì dư $5$ , chia cho $(x+3).(x-2)$ được thương là $2x$ và còn dư. Tìm đa thức $f(x)$ và sắp xếp đa thức $f(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

Câu 3

5,0 điểm

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ , lấy điểm $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ sao cho $MD = MA$ . Kẻ $BI$ vuông góc với $AD$ tại $I$ , $CK$ vuông góc với $AD$ tại $K$ .

a)
Chứng minh rằng $BI = CK$ .
b)
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ , $MN$ vuông góc với $BD$ tại $N$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $CK, AH, MN$ đồng quy.
c)
Chứng minh rằng $N$ là trung điểm của $BD$ .
d)
Chứng minh rằng $BC - AB > AC - AH$ .

Câu 4

2,0 điểm

a)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (|x-26|+1)^{2} + |3-y| + 2023$ .
b)
Chứng minh rằng trong $27$ số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho $50$ .

HẾT