Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2025–2026 — Phòng Văn hóa — Xã hội Nam Sầm Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Tính giá trị các biểu thức sau:

a)
$A = \dfrac{4}{9} : \left(\dfrac{1}{15} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{4}{9} : \left(\dfrac{1}{11} - \dfrac{5}{22}\right)$
b)
$B = \dfrac{2^{12} \cdot 3^{5} - 4^{6} \cdot 9^{2}}{(2^{2} \cdot 3)^{6} + 8^{4} \cdot 3^{5}} - \dfrac{5^{10} \cdot 7^{3} - 25^{5} \cdot 49^{2}}{(125 \cdot 7)^{3} + 5^{9} \cdot 14^{3}}$

Câu 2

2,0 điểm

Tính giá trị biểu thức

a)
$A = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{1 \cdot 3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{2 \cdot 4}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3 \cdot 5}\right) \dots \left(1 + \dfrac{1}{2023 \cdot 2025}\right)$
b)
$B = 1 + \dfrac{1}{2}(1 + 2) + \dfrac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \dfrac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) + \dots + \dfrac{1}{200}(1 + 2 + \dots + 200)$

Câu 3

2,0 điểm

Tìm x biết:

a)
$707 : \left[(2^{x} - 5) + 74\right] = 4^{2} - 3^{2}$
b)
$\dfrac{-1}{6} - \dfrac{7}{6} : (x + 1) = \dfrac{9}{-14} \cdot \dfrac{7}{18}$

Câu 4

2,0 điểm

Hưởng ứng tết trồng cây năm 2026, ba lớp 6A, 6B, 6C của một trường tham gia trồng cây tại vườn trường. Số cây trồng được của lớp 6A bằng $\dfrac{1}{2}$ số cây của hai lớp còn lại. Số cây trồng được của lớp 6B bằng $\dfrac{2}{3}$ số cây hai lớp còn lại. Số cây trồng được của lớp 6C bằng $\dfrac{4}{11}$ số cây của hai lớp còn lại. Biết lớp 6B trồng được nhiều hơn lớp 6A là 3 cây. Tính số cây trồng được của lớp 6C.

Câu 5

2,0 điểm

Để động viên các học sinh có hoàn cảnh khó khăn nhân dịp Tết Nguyên đán năm 2026, một trường THCS được nhà hảo tâm hỗ trợ 192 quyển vở và 116 cái bút. Biết rằng, khi chia đều số quyển vở và số bút đó cho số học sinh trên thì thấy dư 12 quyển vở và 8 cái bút không đủ để chia. Tính số học sinh được nhận quà của trường THCS đó, biết rằng số học sinh được nhận quà nhiều hơn 25 học sinh.

Câu 6

1,5 điểm

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $2xy - 4x - y = 3$ .

Câu 7

1,5 điểm

Trên tia Ox lấy 3 điểm A, B, C sao cho $OA = 5\text{cm}$ , $OC = 7\text{cm}$ , $OB = 9\text{cm}$

a)
Chứng minh rằng điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b)
Trên tia Ox lấy thêm n điểm phân biệt (không trùng với O,A,B,C) và lấy điểm M nằm ngoài đường thẳng AB. Hỏi n bằng bao nhiêu để trên hình vẽ có 465 tam giác có các đỉnh là ba trong các điểm kể trên?

Câu 8

4,0 điểm

Sân bóng chuyền có dạng hình chữ nhật có chiều dài 18m, chiều rộng 9m. Để chống mài mòn và giảm chấn thương, người ta phủ lên mặt sân một lớp thảm PVC có giá tiền một $m^2$ là 400.000 đồng.

Sơ đồ sân bóng chuyền hình chữ nhật với các đường kẻ và kích thước 9m, 3m

a)
Tính số tiền mua thảm PVC phủ lên mặt sân.
b)
Sau khi làm xong lớp nền, đội thi công kẻ vạch bằng sơn để hoàn thiện sân (là các đường kẻ như hình vẽ), độ rộng của các vạch sơn là 5cm. Biết 1 lít sơn kẻ được $5\text{ m}^2$ . Hỏi để kẻ vạch cho sân bóng chuyền thì cần bao nhiêu lít sơn?

Câu 9

1,5 điểm

Người ta mở rộng một chiếc ao hình vuông về bốn phía sao cho ao mới cũng là một hình vuông. Sau khi mở rộng, ao mới có diện tích tăng thêm $300\text{ m}^2$ và gấp 4 lần ao cũ. Tính số tiền mua cọc để rào đủ xung quanh ao mới, biết mỗi cọc giá 50.000 đồng và hai cọc liên tiếp cách nhau 2 mét và mỗi đỉnh hình vuông của chiếc ao mới mỗi có một chiếc cọc.

Câu 10

1,5 điểm

Cho biểu thức

P = \left(\frac{1}{2^2} - 1\right)\left(\frac{1}{3^2} - 1\right)\left(\frac{1}{4^2} - 1\right)\cdots\left(\frac{1}{100^2} - 1\right)

Chứng minh rằng

P < -\frac{1}{2}