Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Triệu Sơn, Thanh Hóa

Câu I

4,0 điểm

1)
Thực hiện phép tính:
1. a)
  $A = (43.65 - 41.25) - (25.59 - 57.65);$
2. b)
  $B = \dfrac{5.4^{15}.9^{9} - 4.3^{20}.8^{9}}{5.2^{9}.6^{19} - 7.2^{29}.27^{6}}.$
2)
Cho $A = 92 - \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{10} - \dfrac{3}{11} - ... - \dfrac{92}{100}$ và $B = \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{55} + ... + \dfrac{1}{500}$ . Tính tỉ số $\dfrac{A}{B}$ .

Câu II

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ , biết:
1. a)
  $2^{x+1} = 640 - 2^{x+3};$
2. b)
  $\dfrac{4}{3.5} + \dfrac{8}{5.9} + \dfrac{12}{9.15} + ... + \dfrac{32}{x(x+16)} = \dfrac{16}{25}.$
2)
Tìm các số tự nhiên $x, y$ sao cho $(x, y) = 1$ và $\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}} = \dfrac{7}{25}.$

Câu III

4,0 điểm

1)
Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p + 8$ và $p + 10$ đều là các số nguyên tố.
2)
Cho $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $a^{2} + b^{2}$ chia hết cho tích $ab$ . Hãy tìm thương của phép chia $a^{2} + b^{2}$ cho $ab$ .

Câu IV

6,0 điểm

1)
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi $102$ m, được chia thành bảy hình chữ nhật như nhau (hình 1).
Hình 1
1. a)
  Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
2. b)
  Nếu tăng chiều rộng thêm $5$ m và bớt chiều dài $5$ m thì diện tích khu vườn thay đổi như thế nào?
2)
Trong hình 2, tứ giác $ABCD$ và $CEFG$ là hai hình chữ nhật, trong đó $D$ nằm trên $FG$ và $E$ nằm trên $AD$ thỏa mãn $\dfrac{ED}{EA} = \dfrac{2}{5}$ . Biết hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích là $140$ cm $^{2}$ . Tính diện tích hình chữ nhật $CEFG$ .
Hình 2

Câu V

2,0 điểm

Cho $a_{1}; a_{2}; a_{3}; ...; a_{n}$ là $n$ số tự nhiên phân biệt lớn hơn $1$ .

Chứng minh $\left(1 - \dfrac{1}{a_{1}^{2}}\right)\left(1 - \dfrac{1}{a_{2}^{2}}\right)\left(1 - \dfrac{1}{a_{3}^{2}}\right)...\left(1 - \dfrac{1}{a_{n}^{2}}\right) > \dfrac{1}{2}.$