Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Lâm Thao, Phú Thọ

Thời gian: 90 phút
Số câu: 16 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu · 6,0 điểm

Phần II. Tự luận — 4 câu · 14,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Giá trị của $x$ thỏa mãn $7^x + 7^{2x} = 2.450$ là

A
$\displaystyle x = 25$
B
$\displaystyle x = 2$
C
$\displaystyle x = 5$
D
$\displaystyle x = 35$

Câu 2

Với $(x; y)$ là cặp số nguyên tố thỏa mãn $35x + 2y = 84$ . Khi đó $9x + 4y$ có giá trị là

A
$\displaystyle 18$
B
$\displaystyle 28$
C
$\displaystyle 46$
D
$\displaystyle 71$

Câu 3

Tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên $n$ để $\frac{4}{2n-1}$ có giá trị là số nguyên. Số phần tử của tập hợp $A$ là

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 4$

Câu 4

Tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 2019 - 2020 + 2021 - 2022 + 2023 - 2024$ có giá trị bằng

A
$\displaystyle -2022$
B
$\displaystyle 1012$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle -1012$

Câu 5

Số các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn biểu thức $(2x-11)^{2024} = (2x-11)^{2022}$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 6

Giá trị của biểu thức $C = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{5}{12} \cdot ... \cdot \frac{30}{62} \cdot \frac{31}{64}$ là

A
$\displaystyle \frac{1}{2^{31}}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2^{30}}$
C
$\displaystyle \frac{1}{2^{32}}$
D
$\displaystyle \frac{1}{2^{36}}$

Câu 7

Cho phép toán $\otimes$ thỏa mãn với hai số $a, b$ ta có: $a \otimes b = 2.a + a.b$ . Giá trị của biểu thức $\left(\frac{1}{2} \otimes \frac{1}{3}\right) \otimes \frac{1}{4}$ là

A
$\displaystyle \frac{7}{6}$
B
$\displaystyle \frac{1}{4}$
C
$\displaystyle \frac{21}{8}$
D
$\displaystyle \frac{8}{21}$

Câu 8

Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau (như hình vẽ), biết rằng $PQ = 4cm$ . Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng

Hình chữ nhật ABCD chứa 4 hình thang vuông bằng nhau (1), (2), (3), (4) và đoạn PQ = 4 cm

A
$\displaystyle 12cm^2$
B
$\displaystyle 24cm^2$
C
$\displaystyle 48cm^2$
D
$\displaystyle 96cm^2$

Câu 9

Cho điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ . Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $5AB = 8BM$ , biết $MI = 4cm$ . Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

A
$\displaystyle 32cm$
B
$\displaystyle 26cm$
C
$\displaystyle 16cm$
D
$\displaystyle 8cm$

Câu 10

Cho $\widehat{xOy} = 90^0$ , tia $Ot$ nằm giữa 2 tia $Ox$ và $Oy$ . Biết $\widehat{xOt} = 5.\widehat{tOy}$ . Số đo của $\widehat{xOt}$ là

A
$\displaystyle 150^0$
B
$\displaystyle 75^0$
C
$\displaystyle 60^0$
D
$\displaystyle 15^0$

Câu 11

Cho đường thẳng $xy$ và điểm $O$ nằm ngoài đường thẳng $xy$ . Trên $xy$ lấy 2024 điểm phân biệt. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu góc đỉnh $O$ , có 2 cạnh là 2 tia bất kì đi qua các điểm thuộc đường thẳng $xy$ ?

A
4.049.255
B
2.047.726
C
4.094.552
D
2.047.276

Câu 12

Bạn Hải tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt sấp là $\frac{3}{7}$ và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là 300. Hỏi bạn Hải đã tung đồng xu bao nhiêu lần?

A
5
B
9
C
14
D
35

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 1

4,0 điểm

1.1)
Rút gọn $A = \frac{2^{19} \cdot 27^{3} - 15 \cdot (-4)^{9} \cdot 9^{4}}{6^{9} \cdot 2^{10} + (-12)^{10}} - \frac{202.420.242.024}{607.260.726.072}$ .
1.2)
Tìm các số tự nhiên $x, y$ sao cho $UCLN(x, y) = 2a - 1$ và $BCNN(x, y) = 5a + 3$ .

Câu 2

4,0 điểm

2.1)
Cho phân số $A = \frac{12n + 7}{4n + 3}$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $A$ là một phân số tối giản với mọi $n \in \mathbb{Z}$ .
2. b)
  Tìm $n \in \mathbb{Z}$ để $A$ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2.2)
Tìm các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $6xy + 4x - 15y = 18$ .

Câu 3

4,0 điểm

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Ox$ , vẽ góc $\widehat{xOz} = 60^{0}; \widehat{xOy} = 100^{0}$ .

a)
Tính số đo $\widehat{yOz}$ .
b)
Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA = 2^{2024} cm$ . Gọi $A_{1}$ là trung điểm của $OA$ , $A_{2}$ là trung điểm của $OA_{1}$ , $A_{3}$ là trung điểm của $OA_{2}, ..., A_{2024}$ là trung điểm của $OA_{2023}$ . Tính độ dài đoạn thẳng $A_{1}A_{2024}$ .
c)
Cần phải vẽ thêm bao nhiêu tia gốc $O$ nữa (không kể các tia $Ox, Oy, Oz$ ) để trên hình vẽ ta có tất cả 5.356 góc đỉnh $O$ được tạo thành.

Câu 4

2,0 điểm

4.1)
Cho $a$ là số tự nhiên và $m$ là ước tự nhiên của $2a^{2}$ . Chứng minh rằng $a^{2} + m$ không là số chính phương.
4.2)
Cho 100 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7.

HẾT