Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Trường THPT Quảng Xương 1, Thanh Hóa

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 6 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-3; -2)$
B
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2; +\infty)$
C
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -3)$
D
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$

Câu 2

Khảo sát về số giờ mượn sách thư viện của học sinh khối 11 trường Y ta được một mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số giờ mượn} & [0;4) & [4;8) & [8;12) & [12;16) & [16;20) \\ \hline \text{Số học sinh} & 54 & 78 & 120 & 45 & 12 \\ \hline \end{array}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây

A
$\displaystyle 120$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 9$

Câu 3

Điều kiện xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x - \cos x}$ là

A
$\displaystyle x \neq k\pi$
B
$\displaystyle x \neq k2\pi$
C
$\displaystyle x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
D
$\displaystyle x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

Câu 4

Hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = \log_{b} x$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

đồ thị hai hàm số $y = \log_{a}x$ và $y = \log_{b}x$

Đường thẳng $y = 3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ . Biết rằng $x_{2} = 2x_{1}$ , giá trị của $\dfrac{a}{b}$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
B
$\displaystyle \sqrt{3}$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle \sqrt[3]{2}$

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \dfrac{n^{2} + 4n + 7}{n + 1}$ . Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 6

Giá trị của $\lim \frac{1}{n^k}$ ( $k \in \mathbb{N}^*$ ) bằng:

Câu 7

Cho hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + 1}{cx + 2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị biểu thức: $T = 2a + 3b - c$ .

đồ thị hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + 1}{cx + 2}$

A
9
B
10
C
8
D
11

Câu 8

Cho hình chóp $S.ABC$ có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của đoạn $SG$ . Biết $\overrightarrow{SM} = x\overrightarrow{SA} + y\overrightarrow{SB} + z\overrightarrow{SC}$ . Tính $T = x + 2y + 6z$ .

A
$\displaystyle T = \frac{1}{3}$
B
$\displaystyle T = \frac{3}{2}$
C
$\displaystyle T = \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle T = \frac{5}{2}$

Câu 9

Thống kê điểm trung bình cuối học kì 1 môn Toán của một số học sinh lớp 12A được cho ở bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng điểm} & [6,5;7) & [7;7,5) & [7,5;8) & [8;8,5) & [8,5;9) & [9;9,5) & [9,5;10) \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 16 & 24 & 13 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}

Số trung vị (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A
7,15
B
9,15
C
7,75
D
8,15

Câu 10

Trong hình vẽ dưới đây, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau.

hình vẽ chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau

Số đo của góc lượng giác $(ON, Ox)$ bằng

A
$50^{\circ} + k360^{\circ}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )
B
$120^{\circ} + k360^{\circ}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )
C
$70^{\circ} + k360^{\circ}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )
D
$-70^{\circ} + k360^{\circ}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )

Câu 11

Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc khoảng $1;20$ để bất phương trình $\log_m x > \log_x m$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$ ?

A
16
B
17
C
18
D
19

Câu 12

Cho biết $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{ax^2 + 1} - bx - 2}{x^3 - 3x + 2}$ $a,b \in \mathbb{R}$ có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức $a^2 + b^2$ bằng:

A
$\displaystyle 6 + 5\sqrt{3}$
B
$\displaystyle \frac{45}{16}$
C
$\displaystyle \frac{9}{4}$
D
$\displaystyle 87 - 48\sqrt{3}$

Câu 13

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 2a$ , $AD = a$ . $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{3}$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt đáy $(ABCD)$ , tính $\cos \varphi$ .

A
$\displaystyle \cos \varphi = \frac{\sqrt{5}}{4}$
B
$\displaystyle \cos \varphi = \frac{\sqrt{7}}{4}$
C
$\displaystyle \cos \varphi = \frac{\sqrt{6}}{4}$
D
$\displaystyle \cos \varphi = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Câu 14

Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 8 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là

A
$\displaystyle \frac{28}{105}$
B
$\displaystyle \frac{37}{105}$
C
$\displaystyle \frac{31}{105}$
D
$\displaystyle \frac{21}{105}$

Câu 15

Cho hàm số $y = \frac{1}{4}(m^3 - 1)x^4 - x^3 + \frac{2m - 5}{2}x^2 - 3x + m^2$ ( $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-500;50)$ để hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 4\right]$ ?

A
$\displaystyle 500$
B
$\displaystyle 502$
C
$\displaystyle 501$
D
$\displaystyle 499$

Câu 16

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Giả sử điểm $M$ thuộc $AC$ , điểm $N$ thuộc $DC'$ và $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}$ . Với $x$ và $y$ là các số thực sao cho $MN // BD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{MN}{BD'} = \frac{m}{n}$ ( $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính $m + n$ .

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 7$

Câu 17

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có ba cạnh $CA, AB, BC$ lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là $q$ . Tìm $q$ ?

A
$\displaystyle q = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B
$\displaystyle q = \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{5}}}{2}$
C
$\displaystyle q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
D
$\displaystyle q = \frac{\sqrt{2\sqrt{5} - 2}}{2}$

Câu 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $EAF = 45^o$ và $G$ thuộc cạnh $SA$ . Biết $FG$ song song với mặt phẳng $(SBC)$ . Khi đó tỉ số $\frac{GA}{GS}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{3}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2}$
C
$\displaystyle \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$

Câu 19

Biển số xe máy tỉnh $K$ gồm hai dòng:

Dòng thứ nhất là $68XY$ , trong đó $X$ là một trong 24 chữ cái, $Y$ là một trong 10 chữ số;
Dòng thứ hai là $abc.de$ , trong đó $a, b, c, d, e$ là các chữ số.

Biển số xe được cho là "đẹp" khi dòng thứ hai có tổng các chữ số là một số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số "đẹp" để đem bán đấu giá?

A
$\displaystyle 12.000$
B
$\displaystyle 143.988.000$
C
$\displaystyle 4.663.440$
D
$\displaystyle 71.994.000$

Câu 20

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30m$ và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1m$ ), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$ , $N(90;120;30)$ , $P(0;120;30)$ , $Q(0;0;30)$ (Hình vẽ). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng $25$ và $K_0M = K_0N = K_0P = K_0Q$ . Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$ , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng $19$ .

hệ trục tọa độ Oxyz với các điểm $M(90;0;30)$, $Q(0;0;30)$, $P(0;120;30)$, $N(90;120;30)$, $K_0$, $K_1$ và mặt phẳng chứa điểm $A$

Biết rằng véc tơ $\overrightarrow{K_0K_1}$ có tọa độ là $(a;b;c)$ với $a,b,c \in \mathbb{R}$ . Khi đó $a+b+c$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle -6$
C
$\displaystyle -7$
D
$\displaystyle 5$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị của hàm số $y = f(4-3x)$ như hình vẽ.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Hàm số $y = f(4-3x)$ đồng biến trên tập $(0;2) \cup (4;+\infty)$
b)
$f'(-8) + f'(-2) + f'(4) = 0$
c)
Hàm số $g(x) = f\left(x^{3} - 2\right)$ đồng biến trên khoảng $(\alpha;+\infty)$ , giá trị nhỏ nhất của $\alpha$ bằng $\sqrt[3]{6}$
d)
Có 26 giá trị thực của tham số $m$ thuộc khoảng $(-9;9)$ thỏa mãn $2m \in \mathbb{Z}$ để hàm số $y = \left|2f(x^{3} - 2) + m - \dfrac{1}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0;-3), B(-4;-4;1), C(-4;1;-1)$ .

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Điểm $A'(2;0;-3)$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$
b)
Tam giác $ABC$ là tam giác tù
c)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là $r = 1,12$
d)
Cho hai điểm $M,N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $MN = 3$ . Giá trị nhỏ nhất của $AM + BN$ (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là $6,17$ .

Câu 3

Cho $1 < a < b \le 2$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
$\log_{a} 2^{2024} < \log_{b} 2^{2024}$
b)
$\log_{a}^{2}(ab) - 4\log_{a^{2}}^{2} b - 1 = 2\log_{a} b$
c)
$\log_{ab} \dfrac{\sqrt{b}}{a} = \dfrac{\log_{a} b - 2}{1 + \log_{a} b}$
d)
Giá trị nhỏ nhất của $P = 2\cdot \log_{a}(b^{2} + 4b - 4) + \log_{\frac{b}{a}}^{2} a$ có dạng $x + 3\sqrt[3]{y}$ với $x,y$ là các số nguyên dương, khi đó $x + 2y = 22$

Câu 4

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 1, u_2 = 2024 \\ u_{n+2} + u_n = 2(u_{n+1} + 1012), n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$ và dãy số $(w_n)$ xác định như sau $w_n = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} i u_i}{3n^4 + 4n^3 - 2n + 3}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
$u_4 = 12.142$
b)
$w_4 = \dfrac{141.660}{2038}$
c)
Biết $\lim \dfrac{2u_n}{2n^2 + n - 2} = \dfrac{a}{b}$ với $a, b$ là số tự nhiên và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, khi đó $a^2 - b^2 = 1012$
d)
$\lim w_n = \dfrac{759}{9}$

Câu 5

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , $SO = 2a$ . Trên đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ không trùng với $A$ và $H$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AH$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
$SO$ song song với mặt phẳng $(P)$
b)
Cạnh bên của hình chóp đã cho bằng $\dfrac{a\sqrt{39}}{3}$
c)
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy, giá trị $\tan \alpha = 4\sqrt{3}$
d)
Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABC$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{3a^2}{4}$

Câu 6

Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Số cách chọn được hai thẻ chẵn là 1225
b)
Xác suất chọn được hai thẻ mà tích các số ghi trên hai thẻ là số chẵn bằng $\dfrac{37}{49}$
c)
Số cách chọn được ba thẻ mà các số ghi trên ba thẻ lập thành cấp số cộng là 780
d)
Xác suất để chọn được hai thẻ mà hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3 bằng 0,65 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 3$ với $a, b$ là các tham số thực thỏa mãn $\begin{cases} a + b - 2 > 0 \\ 24 + 3(3a + b) < 0 \end{cases}$ . Hỏi phương trình $2.f(x).f''(x) = \left[f'(x)\right]^2$ có bao nhiêu nghiệm?

Trả lời:

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1;2;-3), B(4;0;5), C(2;0;1)$ và $D(6;-2;11)$ . Gọi $M(x;y;z)$ là điểm sao cho hai biểu thức $P = 2MA^2 - 3MB^2 - MC^2 + MD^2$ và $Q = x + 2y + 2z - 24$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x + 3y + z$

Trả lời:

Câu 3

Có bao nhiêu số nguyên $y$ $(y \ge 3)$ sao cho tồn tại đúng hai số thực $x$ lớn hơn $\dfrac{1}{2021}$ thỏa mãn: $\left(e^{y^x - xy + x}\right)^{\ln y} = xy$

Trả lời:

Câu 4

Cho hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$ , đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD} = 60^\circ$ . Các mặt phẳng $(ADQM), (ABNM)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha = 2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(MNPQ)$ nằm bên trong hình thoi $MNPQ$ . Gọi $O$ là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện $AMNQ$ . Biết thể tích khối chóp $O.ABM$ có giá trị bằng $V$ và $V^2 = \dfrac{a}{b}$ với $a, b$ là số tự nhiên; phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tìm $a + b$ .

Trả lời:

Câu 5

Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S = \{1;2;\ldots;26\}$ . Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2$ chia hết cho 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{N}^*$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T = 2m + n$ .

Trả lời:

Câu 6

Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 25\,\mathrm{m}$ , chiều rộng $AD = 20\,\mathrm{m}$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ( $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$ ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$ , biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15\,\mathrm{m}$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30\,\mathrm{m}$ . Do tính cấp thiết cần có của con đường nên đội xây dựng đã hoàn thành con đường trong một thời gian ngắn nhất. Hỏi sau bao nhiêu phút đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

HẾT