Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Bà Rịa — Vũng TàuMã đề 1

Thời gian tập thể dục mỗi ngày của bạn Nam được thống kê lại ở bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số lẻ bằng

Số nghiệm của phương trình $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0$ trên đoạn $[0;10\pi]$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$ và $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Giá trị tang của góc nhị diện $[S,BD,A]$ bằng

Cho hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Phương trình đường tiệm cận xiên của $(C)$ là $y = ax + b$. Giá trị $T = 4a - b$ bằng

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S(t) = t^3 - 6t^2 + 15t + 9$, trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$. Tại thời điểm $t_0$ (giây) bằng bao nhiêu thì vận tốc nhỏ nhất?

Cho hàm số $y = \frac{ax^2 + 2x + c}{x + b}$, (với $a \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức $P = a^2 + b + c$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 1, AD = 2, AA' = 3$. Điểm $M$ thuộc cạnh $CC'$ sao cho $MC' = 2MC$, $N$ thuộc cạnh $DD'$ sao cho $ND = 2ND'$. Giá trị $\cos(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CN})$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 8. Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(ABCD)$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB'$ và $A'M$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(0;1;2)$, $B(2;1;4)$, $C(-1;2;2)$. Gọi $H(x;y;z)$ là trực tâm tam giác $ABC$. Giá trị của biểu thức $T=x+y+z$ bằng

Ông An dự định sử dụng hết $8\,m^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$ bằng

Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán $x$ cái điện thoại A thì giá mỗi cái là $p(x)$ (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần $C(x)=12.000-3x$ (triệu đồng).

Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;3;0), S(0;0;6)$. Gọi $E$ là trung điểm của $CD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 3$. Biết rằng khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\frac{12}{5}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y = \frac{x^2 - mx - m + 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(3;7)$. Gọi $S$ là tập hợp giá trị tham số $m$ để $(C)$ có hai điểm cực trị $A, B$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$. Tích tất cả các phần tử của $S$ bằng bao nhiêu?

Xếp ngẫu nhiên một nhóm học sinh gồm 3 nữ và 17 nam thành một hàng ngang. Xác suất để không có học sinh nam nào mà hai bạn bên cạnh đều là nữ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được $x$ kg ($5 \le x \le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x$ kg được cho bởi hàm chi phí $C(x) = x^3 - 3x^2 + 19x + 300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 316 nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh 20, bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình bên). Để thể tích hình lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;4;2)$, $B(2;-6;0)$ và $C(-4;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MB$ vuông góc với $BC$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả được làm tròn một chữ số thập phân).

Trên một hồ nước có hai đảo. Đảo thứ nhất có hình dạng là một parabol và đảo thứ hai có hình dạng là một hình tròn với kích thước được mô hình hóa trong hình bên. Người ta muốn xây dựng một cái cầu nối hai đảo với nhau. Hỏi chiều dài ngắn nhất có thể của cây cầu là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Có bao nhiêu giá trị nguyên $y \leq 2024$ để ứng với mỗi $y$ tồn tại hai số thực $x$ thỏa mãn bất phương trình $e^{x^2} + (y + \ln x).e^{y + \ln x} \leq (x^3 + x)e^y$?