Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2024 — Bộ GD&ĐT

Chứng minh rằng với mọi số dương $a$, đa thức $P(x) - a$ có duy nhất một nghiệm dương.

Xét dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_1 = \dfrac{1}{3}$ và với mọi $n \ge 1$, $a_{n+1}$ là nghiệm dương của đa thức $P(x) - a_n$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Chứng minh rằng $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n \ge 0$. Khi $n$ thay đổi, số dư của $u_n$ khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a,b$ nhỏ hơn 500 sao cho với mọi $n$ lẻ ta có $u_n \equiv a^n - b^n \pmod{1111}$.

Đường thẳng $DK$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Y$ khác $D$. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng $BY$ và đường trung trực của đoạn thẳng $BK$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $OFY$.

Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HE$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $L$. Đường thẳng $DL$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Z$ khác $D$. Gọi $M, N$ và $P$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(BZ, OE), (CY, OF)$ và $(BY, CZ)$. Gọi $T$ là giao điểm của cặp đường thẳng $(YZ, MN)$ và $d$ là đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OA$. Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AP$.