Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2023–2024 — Trường THPT Bình Chiểu, TP HCM

Giải phương trình: $\log_{7}\left(\dfrac{4x^2 - 4x + 1}{2x}\right) + 4x^2 + 1 = 6x$

Một người vay tiền ở một ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất $0,7\%$ / tháng với tổng số tiền vay là $1$ tỉ đồng. Mỗi tháng người đó đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền gốc và lãi. Biết rằng đúng $25$ tháng thì người đó trả hết gốc và lãi cho ngân hàng. Hỏi số tiền của người đó trả cho ngân hàng ở mỗi tháng là bao nhiêu?

Một người đàn ông muốn chèo thuyền từ vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện càng nhanh càng tốt trên một bờ sông thẳng rộng $3\text{km}$ (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến $C$ và sau đó chạy đến $B$, hay có thể chèo trực tiếp đến $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $B$ và $C$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền $6\text{km/h}$, chạy bộ $8\text{km/h}$ và quãng đường $BC=8\text{km}$. Biết tốc độ dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến $B$.

Cho hàm số $y = \dfrac{-2x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$, biết tiếp tuyến này cắt hai trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ khác $O$ và $5OA = 4OB$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = 4$, $AC = 2$ và $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB, SC$. Góc giữa mặt phẳng $(ABC)$ và $(AMN)$ bằng $60^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Mặt phẳng qua $AB$ và trung điểm $M$ của $SC$ cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng $7a$. Tính thể tích của khối nón có đỉnh là $S$ và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác $ABCD$.

Cho hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Đường thẳng $d: y=g(x)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$. Hỏi phương trình $\frac{f(x)-1}{g(x)-1} - \frac{g(x)}{f(x)} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?