Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Lâm Đồng

Câu 1

4,5 điểm

1.1)
Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{mx - 4m - 5}{x - m}$ . Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(3; +\infty)$ .
1.2)
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3(m^{2} - 1)x - 1$ . Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12 + x_{1}x_{2}$ .

4,5 điểm

2.1)
Cho $a = \log_{2}3$ ; $b = \log_{2}5$ . Tính $\log_{15}900$ theo $a$ và $b$ .
2.2)
Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; ...; 20\}$ . Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của $A$ . Tính xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành cấp số cộng.

4,0 điểm

3.1)
Cho hình vuông $H_{1}$ có cạnh bằng $a$ $(a > 0)$ . Người ta chia mỗi cạnh hình vuông $H_{1}$ thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_{2}$ . Từ hình vuông $H_{2}$ tiếp tục làm như trên ta nhận được hình vuông $H_{3}$ . Lặp lại cách chia như trên ta được dãy các hình vuông $H_{1}, H_{2}, H_{3}, ..., H_{n}, ...$ (tham khảo hình vẽ ở bên). Gọi $S_{k}$ là diện tích của hình vuông $H_{k}$ $(k \in \{1; 2; 3; ...; n; ...\})$ . Đặt $T = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...$ Tìm $a$ biết $T = 16$ .
3.2)
Giải phương trình sau trên tập số thực: $\sqrt{2x^{2} + 3x - 19} - x + 1 = 2\sqrt{x - 3}$ .

4,0 điểm

4.1)
Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng $12 (dm)$ người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ ở bên. Sau đó người ta gập lại và hàn thành hình hộp chữ nhật $(H)$ không nắp. Tính thể tích nước tối đa mà khối hộp chữ nhật $(H)$ có thể chứa được.
4.2)
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $\widehat{BAC} = 60^{0}$ , $AB = 4a$ và $AC = 3a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$ , khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(B'AC)$ bằng $a$ . Tính thể tích khối chóp $B'.ACC'A'$ .

3,0 điểm

5.1)
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ, biết $f(1) = \dfrac{5}{2}$ . Tìm điều kiện của tham số thực $m$ để bất phương trình $f(2\sin x) + \cos 2x \leq 2m + 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ .
5.2)
Cho các số thực $x, y, z \in (0; 1]$ thoả mãn $x + y \geq 1 + z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{xy+z^{2}}$ .