Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Phú Thọ

Thời gian: 180 phút
Số câu: 44 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Tự luận8,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 + 2x^2 + (m - 3)x + m$ có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 5(a + b + c) - 2ab$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b + c + 48\left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a + 10}} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{b + c}}\right)$ .

Câu 2

1,0 điểm

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2}\log_{2}\left(\sqrt{x^2 + 8} - x\right)$ . Tìm tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(4.5^{x} + 10x + m\right) + f\left(-5^{x+1}\right) = \dfrac{3}{2}$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Câu 3

3,0 điểm

1)
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AB = 2a\sqrt{2}$ , $A'A = A'B = A'C$ , đường thẳng $B'A$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^\circ$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ .
2)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $4$ , tam giác $SAB$ đều, tam giác $SCD$ vuông cân tại $S$ . Gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BM$ vuông góc với $SA$ . Tính thể tích khối chóp $S.BDM$ .

Câu 4

1,0 điểm

Hai bạn An và Bình hẹn gặp nhau tại thư viện từ 9 giờ đến 10 giờ. Người đến trước đợi quá 15 phút mà không gặp thì rời đi. Tính xác suất để hai người đi ngẫu nhiên đến nơi hẹn theo quy định mà gặp nhau.

Phần II. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Đạo hàm của hàm số $y = \ln \sqrt{x^2 + 1}$ là

A
$\displaystyle y' = \dfrac{x}{x^2 + 1}$
B
$\displaystyle y' = \dfrac{x}{2(x^2 + 1)}$
C
$\displaystyle y' = \dfrac{x}{2\sqrt{x^2 + 1}}$
D
$\displaystyle y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

Câu 2

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm, liên tục trên $\mathbb{R}$ và dấu của đạo hàm cho bởi bảng sau.

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −3); f′(x) = 0 tại x = −3; f′(x) < 0 trên (−3; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) > 0 trên (−2; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; +∞).

Giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ là

A
$\displaystyle f(-3)$
B
$\displaystyle f(1)$
C
$\displaystyle f(-2)$
D
$\displaystyle f(-1)$

Câu 3

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 123$ và $u_3 - u_{15} = 84$ . Số hạng $u_{17}$ có giá trị bằng

A
$\displaystyle 11$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 235$
D
$\displaystyle 242$

Câu 4

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{x^3}{x^4+1}$ và $F(0)=1$ . Giá trị của $F(1)$ bằng

A
$\displaystyle 2+\dfrac{1}{4}\ln 2$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{4}\ln 2$
C
$\displaystyle 1+\dfrac{1}{4}\ln 2$
D
$\displaystyle 4+\dfrac{1}{2}\ln 2$

Câu 5

Bất phương trình $\log_3\left(\log_{\frac{1}{2}}x\right)<1$ có tập nghiệm là khoảng $(a;b)$ . Giá trị của $b-a$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{8}$
B
$\displaystyle \dfrac{-7}{8}$
C
$\displaystyle \dfrac{9}{8}$
D
$\displaystyle \dfrac{7}{8}$

Câu 6

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị $f'(x)$ như hình bên dưới.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (-\infty;0)$
B
$\displaystyle (0;3)$
C
$\displaystyle (1;4)$
D
$\displaystyle (1;+\infty)$

Câu 7

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ có bảng biến thiên như sau.

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; 1); y′ không xác định tại x = 1; y′ < 0 trên (1; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).

Số đường tiệm cận $y=\dfrac{2024}{f(x)}$ của đồ thị hàm số là

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 8

Một hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao $\dfrac{3a}{2}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với trục của trụ và cách trục một khoảng $\dfrac{a}{2}$ . Diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và trụ là

A
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{2}a^2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{5}a^2}{2}$

Câu 9

Một lớp có $30$ học sinh gồm $12$ học sinh nam, $18$ học sinh nữ. Số cách chọn ra $5$ học sinh gồm cả nam và nữ, có ít nhất $3$ nữ là

A
$\displaystyle 53.856$
B
$\displaystyle 90.576$
C
$\displaystyle 28.800$
D
$\displaystyle 99.144$

Câu 10

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $AC=2a$ , $BD=2a\sqrt{3}$ và $SO\perp (ABCD)$ . Biết đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ với $\tan\alpha=\sqrt{2}$ . Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{2a\sqrt{66}}{11}$
B
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{11}}{11}$
C
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{33}}{11}$
D
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{66}}{11}$

Câu 11

Biết phương trình $\log_2^2x-2\log_2(2x)-1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ . Giá trị của $x_1.x_2$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle \frac{17}{2}$
C
$\displaystyle -3$
D
$\displaystyle \frac{1}{2}$

Câu 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ , $AB = a$ , $AD = a\sqrt{3}$ , $SA \perp (ABCD)$ . Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ .

A
$\displaystyle V = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$
B
$\displaystyle V = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$
C
$\displaystyle V = \frac{a^3\sqrt{15}}{10}$
D
$\displaystyle V = a^3\sqrt{3}$

Câu 13

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (3 - x)(x^2 - 1) + 2x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Khi đó, hàm số $g(x) = f(x) - x^2 - 1$ đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

A
$\displaystyle x = -1$
B
$\displaystyle x = 1$
C
$\displaystyle x = 3$
D
$\displaystyle x = 0$

Câu 14

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{7 - x}$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 2\sqrt{2}$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 5$

Câu 15

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là một số lẻ bằng

A
$\displaystyle \frac{115}{231}$
B
$\displaystyle \frac{103}{231}$
C
$\displaystyle \frac{130}{231}$
D
$\displaystyle \frac{118}{231}$

Câu 16

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $(A'BC)$ tạo với đáy góc $30^\circ$ và tam giác $A'BC$ có diện tích bằng $8a^2$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A
$\displaystyle 64\sqrt{3}a^3$
B
$\displaystyle 2\sqrt{3}a^3$
C
$\displaystyle 16\sqrt{3}a^3$
D
$\displaystyle 8\sqrt{3}a^3$

Câu 17

Cho các số dương $a, b, c$ khác $1$ thoả mãn $\log_a(bc) = 3$ và $\log_b(ac) = 4$ . Giá trị của $\log_c(ab)$ bằng

A
$\displaystyle \frac{16}{9}$
B
$\displaystyle \frac{9}{16}$
C
$\displaystyle \frac{11}{9}$
D
$\displaystyle \frac{9}{11}$

Câu 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$ . Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng

A
$\displaystyle 60^\circ$
B
$\displaystyle 30^\circ$
C
$\displaystyle 45^\circ$
D
$\displaystyle 90^\circ$

Câu 19

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $2a$ . Diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng

A
$\displaystyle S = \frac{2\sqrt{3}\pi a^2}{3}$
B
$\displaystyle S = \frac{32\sqrt{3}a^2}{27}$
C
$\displaystyle S = \frac{16\pi a^2}{3}$
D
$\displaystyle S = \frac{16\sqrt{3}a^2\pi}{3}$

Câu 20

Cho hàm số $y = f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây.

Hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 2024$ đồng biến trên khoảng nào?

A
$\displaystyle (-\infty; -2)$
B
$\displaystyle (-3; -1)$
C
$\displaystyle (-1; 1)$
D
$\displaystyle (1; +\infty)$

Câu 21

Cắt hình nón đỉnh $I$ bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$ . Gọi $BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(IBC)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc $60^{\circ}$ . Diện tích của tam giác $IBC$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}a^2}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{2a^2}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}a^2}{6}$

Câu 22

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_7 x < \log_3\left(2+\sqrt{x}\right)$ là

A
$\displaystyle 25$
B
$\displaystyle 49$
C
$\displaystyle 48$
D
$\displaystyle 26$

Câu 23

Cho hàm số bậc nhất $f(x)$ thỏa mãn $\int_0^1 f(x)dx = 4$ ; $\int_2^3 f(x)dx = 2$ . Tích phân $I=\int_0^1 f\left(f(2x-5)\right)dx$ bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{2}$
C
$\displaystyle -4$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Câu 24

Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-8;8]$ để phương trình $f[f(x)+m]=0$ có bốn nghiệm thực phân biệt?

A
$\displaystyle 11$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 9$

Câu 25

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $f\left(2x^3+x-1\right)-m \leq 0$ nghiệm đúng $\forall x \in [0;1]$ .

A
$\displaystyle m \geq 0$
B
$\displaystyle m > 3$
C
$\displaystyle m \geq -1$
D
$\displaystyle m \geq 3$

Câu 26

Biết tích phân $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{4\cos x - 2\sin x}{\sin x + 3\cos x}dx = \dfrac{a\pi}{2} + b\ln 2 - c\ln 3$ , với $a,b,c \in \mathbb{Q}$ . Tính $P=abc$ .

A
$\displaystyle P=\dfrac{4}{3}$
B
$\displaystyle P=\dfrac{3}{4}$
C
$\displaystyle P=3$
D
$\displaystyle P=\dfrac{2}{3}$

Câu 27

Cho hàm số $f(x)=x^5+4x^4+3x^3+1-3m$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f(x)+m}\right)=x^3-m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$ . Tổng các phần tử của $S$ bằng

A
$\displaystyle 10$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 36$

Câu 28

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-2023;2023]$ để phương trình $\dfrac{1}{\log_{3}(x-2)} + \dfrac{1}{3^{x}-1} = x+m$ có hai nghiệm phân biệt?

A
$\displaystyle 2023$
B
$\displaystyle 2020$
C
$\displaystyle 2021$
D
$\displaystyle 2022$

Câu 29

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ , thoả mãn $f'(x).\cos x + f(x).\sin x = 2\sin x.\cos^{3}x$ , với mọi $x\in \mathbb{R}$ , và $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A
$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\in (2;3)$
B
$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\in (3;4)$
C
$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\in (4;5)$
D
$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\in (1;2)$

Câu 30

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , thỏa mãn $f(x)=x\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-f'(x)\right)$ , $\forall x\in (0;+\infty)$ và $f(4)=\dfrac{4}{3}$ . Tích phân $\displaystyle\int_{1}^{4}(x^{2}-1)f'(x)\,dx$ bằng

A
$\displaystyle -\dfrac{263}{15}$
B
$\displaystyle -\dfrac{263}{30}$
C
$\displaystyle \dfrac{457}{15}$
D
$\displaystyle \dfrac{457}{30}$

Câu 31

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m\cdot 3^{x^{2}-3x+2}+3^{4-x^{2}}=3^{6-3x}+m$ có bốn nghiệm thực phân biệt?

A
$\displaystyle 78$
B
$\displaystyle 80$
C
$\displaystyle 81$
D
$\displaystyle 77$

Câu 32

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f(x)>0$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Biết $f'(4)=0$ và $f'(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

Bảng biến thiên của hàm số: f′′(x) > 0 trên (−∞; 1); f′′(x) = 0 tại x = 1; f′′(x) < 0 trên (1; +∞). Hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞), đạt cực đại tại x = 1 với giá trị 4.

Có bao nhiêu số nguyên $m\in [-2023;2024]$ để hàm số $y=e^{-x^{2}+mx+1}\cdot f(x)$ đồng biến trên $(1;4)$ ?

A
$\displaystyle 2016$
B
$\displaystyle 2018$
C
$\displaystyle 2017$
D
$\displaystyle 2019$

Câu 33

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$ . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{a}{2}$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{2}}{24}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
D
$\displaystyle \dfrac{a^{3}\sqrt{2}}{8}$

Câu 34

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị của hàm số $y=f(5-2x)$ như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ thuộc khoảng $(-9;9)$ thoả mãn $2m \in \mathbb{Z}$ để hàm số $y = \left|2f(4x^3+1) + m - \dfrac{1}{2}\right|$ có $5$ điểm cực trị?

A
$\displaystyle 26$
B
$\displaystyle 25$
C
$\displaystyle 13$
D
$\displaystyle 27$

Câu 35

Cho hàm số $y = \dfrac{x}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = -x + m$ . Với $m > 4$ thì $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ ( $O$ là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $2\sqrt{2}$ . Khi đó $m$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (5;6)$
B
$\displaystyle (3;5)$
C
$\displaystyle (7;9)$
D
$\displaystyle (5;7)$

Câu 36

Số giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left|\ln^2 x - 2\ln x + m\right|$ trên đoạn $\left[\dfrac{1}{e}; e^2\right]$ bằng $5$ là

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 37

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB = BC = 3a$ , góc $\widehat{SAB} = \widehat{SCB} = 90^\circ$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{5}$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{13}a}{4}$
B
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{13}a}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{13}a}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{4a\sqrt{13}}{3}$

Câu 38

Có bao nhiêu bộ số thực của cặp tham số $(m; n)$ để tồn tại đúng hai bộ số thực $(x; y)$ thỏa mãn đồng thời $\log_{x^2+y^2+10}(6|x|+6|y|+1) \ge 1$ và $(x+m)^2 + (y-2m-6)^2 \le n^2$ ?

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 39

Cho hàm số $f(x)$ đồng biến, có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$ và $f(1)=1$ . Biết $\left[2f(x) + xf'(x)\right]^2 = \dfrac{f(x)}{x}$ với $\forall x \in [1;4]$ . Khi đó $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle 2 + \ln 3$
B
$\displaystyle \ln \dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle 4\ln 3 - \ln 2$
D
$\displaystyle \ln 3 - 5\ln 2$

Câu 40

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD = 2a$ , cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $B$ và vuông góc với $SC$ chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $C$ .

A
$\displaystyle \dfrac{21a^3\sqrt{3}}{256}$
B
$\displaystyle \dfrac{63a^3\sqrt{3}}{256}$
C
$\displaystyle \dfrac{63a^3\sqrt{3}}{512}$
D
$\displaystyle \dfrac{21a^3\sqrt{3}}{128}$

HẾT