Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2024 — Sở GD&ĐT Kon Tum

Câu 1

3,5 điểm

1)
Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2m$ luôn có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không phụ thuộc vào tham số $m$ .
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\log_{2024} a = 4$ ; $\log_{\sqrt{a}} b = 3$ ; $\log_{c^2} \sqrt{b} = 2$ . Tính giá trị của biểu thức $Q = \log_{2024} \left( \sqrt{ab^2c^4} \right)$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Giải phương trình $(\cos x + \sin x)(1 - \sin 2x) = \cos 2x$ .
2)
Cho hàm số $f(x) = x^2 - mx$ . Xác định giá trị của $m$ để hàm số $y = f(x^2 - mx)$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0 = 1$ .

Câu 3

2,0 điểm

Điền ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đầu tiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 10 ô vuông trong bảng ở hình vẽ bên dưới (mỗi ô vuông điền đúng một số).

Bảng 10 ô vuông xếp liên tiếp thành hàng ngang

Tính xác suất để ba ô vuông liền kề nhau bất kì có tổng ba số ghi trong ba ô vuông đó chia hết cho 3.

Câu 4

2,0 điểm

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân ở $B$ với $AC = 2a$ . Giả sử mặt phẳng $(ABC')$ và mặt phẳng $(A'B'C)$ vuông góc nhau. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Câu 5

4,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^o$ . Biết $SA = SB = SC$ , góc hợp bởi đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $45^o$ .

1)
Gọi $N$ là điểm trên cạnh $SD$ . Tìm vị trí của điểm $N$ để đường thẳng $AN$ hợp với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $45^o$ .
2)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ , $G$ là trọng tâm tam giác $\Delta SCD$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AG$ , $CM$ theo $a$ .

Câu 6

3,0 điểm

1)
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \frac{u_1 + u_2 + ... + u_n}{n} + n + 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$ . Tính tổng $S = \frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + ... + \frac{1}{u_{2023}u_{2024}}$ .
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} (y+2)(\sqrt{2x+1}-1) = 2x \\ \sqrt{x^3 - x + 3} = x + y \end{cases}$ .

Câu 7

1,5 điểm

Cho ba số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 1$ và $x + y + z = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xyz$ .