Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán THPT năm 2024 — Bộ GD&ĐT

Câu 1

5,0 điểm

Với mỗi số thực $x$ , ta gọi $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ . Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi: $a_n = \frac{1}{4^{[-\log_4 n]}}, \forall n \ge 1$ . Đặt $b_n = \frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n} a_k - \frac{1}{a_1 + a_2}\right), \forall n \ge 1$ .

a)
Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n = P\left(\frac{a_n}{n}\right), \forall n \ge 1$ .
b)
Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho
$\lim_{k \to \infty} b_{n_k} = \frac{2024}{2025}.$

Câu 2

5,0 điểm

Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $x^{2023} + Q(a).x^2 + (a^{2024} + a)x + a^3 + 2025a = 0$ .

Câu 3

5,0 điểm

Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $A$ , gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $B$ , gọi $C'$ là tâm đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $CA$ tại $C$ .

a)
Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$ .
b)
Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B', B'C', C'A'$ . Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B', B'C', C'A'$ tại các điểm $X', Y', Z'$ ( $X' \neq X, Y' \neq Y, Z' \neq Z$ ). Chứng minh rằng các đường thẳng $AX', BY', CZ'$ đồng quy.

Câu 4

5,0 điểm

Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024 \times 2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).

a)
Cho $k = 2024$ . Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
b)
Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.