Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Đồng Nai

Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 9$ và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2\sin^2 x - \sin 2x + \sin x - \cos x - 1 = 0$.

Cho một tấm bìa là nửa hình tròn tâm $S$ đường kính $AA'$. Trên đoạn $AA'$ lần lượt lấy các điểm $B, C, D, D', C', B'$ thỏa mãn $AB = BC = CD = DS = SD' = D'C' = C'B' = B'A'$, gọi $O$ là trung điểm của $SD$. Lần lượt vẽ các nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $DS, CD', BC', AB'$. Dán hai bán kính $SA$ với $SA'$ sao cho $A$ trùng $A'$, $B$ trùng $B'$, $C$ trùng $C'$, $D$ trùng $D'$ để tạo thành hình nón đỉnh $S$ mà trên mặt xung quanh có đường xoắn ốc từ $A$ đến $S$ gồm các cung tròn đi qua $A, B, C, D, S$ (như hình vẽ minh họa). Tính độ dài đường xoắn ốc, biết thể tích khối nón bằng $\frac{64\sqrt{3}.\pi}{3}$.

Cho hàm số $f(x) = \ln\left(\frac{2024x}{x + 2}\right)$. Tìm đạo hàm $f'(x)$ của hàm số đã cho. Chứng minh $f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2024) < \frac{3}{2}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có diện tích tam giác $ABC'$ bằng $9a^2$, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC'$ bằng $2a$, với $a > 0$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp 6 quyển sách khác nhau vào 3 ngăn tủ khác nhau sao cho mỗi ngăn tủ có ít nhất một quyển sách? (Biết mỗi ngăn tủ có thể chứa được từ 1 đến 6 quyển sách và không kể thứ tự các quyển sách trong mỗi ngăn tủ).

Chứng minh $C_{2n}^{n}$ là số chẵn, với mọi số nguyên dương $n$.

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3 - y^3 - 3(2x^2 - y^2 + 2y) + 15x - 10 = 0 \\ x^2 + \sqrt{x + y - 1} = \sqrt{2 - x} \end{cases}$ (với $x, y \in \mathbb{R}$).

Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a^3 + 2)(b^3 + 2)(c^3 + 2)$.

Cho hàm số $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(f(2a) + f(b)) = 2a + b$, với mọi số hữu tỷ $a, b$ (ký hiệu tập hợp các số hữu tỷ là $\mathbb{Q}$). Chứng minh $f$ là hàm số lẻ.