Đề thi học sinh giỏi Toán 11 lần 2 năm 2023–2024 — Trường THPT Nguyễn Quán Nho, Thanh HóaMã đề 001

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 24 câu

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai — 5 câu

Phần 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Trong không gian cho 3 đường thẳng $a; b; c$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
Nếu $a \perp b$ và $b \perp c$ thì $a \perp c$
B
Nếu $a // b$ và $c \perp a$ thì $c \perp b$
C
Nếu $a \perp b$ và $c \perp b$ thì $a // c$
D
Nếu $a \perp c$ và $b \perp c$ thì $a \perp b$

Câu 2

Cho đồ thị hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{b} x$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle 0 < a <1< b$
B
$\displaystyle 0 < b <1< a$
C
$\displaystyle 0 < a <1, 0 < b <1$
D
$\displaystyle a >1, b >1$

Câu 3

Tìm tập giá trị của hàm số $y = \sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x + 2024$ .

A
$\displaystyle [-2024; 2024]$
B
$\displaystyle [-2023; 2023]$
C
$\displaystyle [2021; 2026]$
D
$\displaystyle [2022; 2026]$

Câu 4

Tính số cách sắp xếp 4 nam sinh và 6 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ sao cho tất cả nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

A
$\displaystyle 10!$
B
$6! \times 5!$ .
C
$6! \times 4!$ .
D
$7! \times 4!$ .

Câu 5

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy là $a\sqrt{2}$ và tam giác $SAC$ đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp.

A
$\displaystyle 2a$
B
$\displaystyle a\sqrt{3}$
C
$\displaystyle a$
D
$\displaystyle a\sqrt{2}$

Câu 6

Cho hai số tự nhiên $a, b$ không lớn hơn 10. Có bao nhiêu cặp số $(a, b)$ để $\lim\left(\sqrt{n^{2} - bn + 7} + a - n\right) = 0$ ?

Câu 7

Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x + 7$ .

Câu 8

Cho các hàm số: $y = \sin 2x$ , $y = \cos x$ , $y = \tan x$ , $y = \cot x$ . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$ .

Câu 9

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ . Mặt phẳng $(\beta)$ chứa $a$ và cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $d$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A
$a$ và $d$ song song
B
$a$ và $d$ trùng nhau
C
$a$ và $d$ cắt nhau
D
$a$ và $d$ chéo nhau

Câu 10

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$ , $AD = 2a$ . Ba cạnh $SA, AB, AD$ đôi một vuông góc và $SA = 2a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SD, BC$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa $AM$ và $SN$ . Tính $\cos \alpha$ .

A
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
B
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}$
C
$\displaystyle \frac{\sqrt{42}}{7}$
D
$\displaystyle \sqrt{3}$

Câu 11

Một hộp gồm 4 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tính xác suất để thu được hai viên bi cùng màu.

A
$\displaystyle \frac{5}{7}$
B
$\displaystyle \frac{6}{13}$
C
$\displaystyle \frac{3}{11}$
D
$\displaystyle \frac{9}{14}$

Câu 12

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3 + 3x^2 - 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là

A
$\displaystyle y = -9x - 7$
B
$\displaystyle y = -9x + 7$
C
$\displaystyle y = 9x - 7$
D
$\displaystyle y = 9x + 7$

Câu 13

Cho khối lăng trụ đứng $ABCA'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân và $AB = AC = a$ , $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Mặt phẳng $(A'BC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A
$\displaystyle V = \frac{a^3}{8}$
B
$\displaystyle V = \frac{3a^3}{8}$
C
$\displaystyle V = \frac{9a^3}{8}$
D
$\displaystyle V = \frac{3a^3}{4}$

Câu 14

Có hai cơ sở khoan giếng $A$ và $B$ . Cơ sở $A$ giá mét khoan đầu tiên là 8.000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở $B$ : Giá của mét khoan đầu tiên là 6.000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 (m) và 25 (m) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

A
luôn chọn $A$
B
luôn chọn $B$
C
giếng 20 (m) chọn $A$ còn giếng 25 (m) chọn $B$
D
giếng 20 (m) chọn $B$ còn giếng 25 (m) chọn $A$

Câu 15

Tập xác định của hàm số $y = \log x + \log(3 - x)$ là

A
$\displaystyle (3; +\infty)$
B
$\displaystyle [0; 3]$
C
$\displaystyle (0; 3)$
D
$\displaystyle [3; +\infty)$

Câu 16

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 = 3$ và tổng hai số hạng đầu bằng 9. Số hạng $u_3$ bằng:

A
12
B
15
C
9
D
6

Câu 17

Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm $x_0 = -1$ .

A
$\displaystyle y = \frac{x+1}{x^2+1}$
B
$\displaystyle y = \frac{x}{x-1}$
C
$\displaystyle y = \frac{2x-1}{x+1}$
D
$\displaystyle y = (x+1)(x^2+2)$

Câu 18

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?

A
4.144.880
B
12.141.421
C
5.234.234
D
207.900

Câu 19

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $B'C = 3a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt{2}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .

A
$\displaystyle V = \dfrac{\sqrt{2}a^3}{3}$
B
$\displaystyle V = 2a^3$
C
$\displaystyle V = \dfrac{a^3}{6\sqrt{2}}$
D
$\displaystyle V = \sqrt{2}a^3$

Câu 20

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x^2} - 4^x\right)\left[\log_3(x + 79) - 4\right] \leq 0$

A
$\displaystyle 79$
B
$\displaystyle 26$
C
Vô số
D
$\displaystyle 80$

Câu 21

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $\log_2(x + 2) + \log_4(x - 5)^2 + \log_{\frac{1}{2}}8 = 0$ bằng

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 3$

Câu 22

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $a\sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy là điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $BI = 2AI$ . Góc giữa mặt bên $(SCD)$ với mặt đáy là $60^0$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ .

Hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông và hình chiếu vuông góc của S lên đáy là điểm I trên AB

A
$\displaystyle \dfrac{9\sqrt{31}}{31}a$
B
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{93}}{31}a$
C
$\displaystyle \dfrac{6\sqrt{93}}{31}a$
D
$\displaystyle \dfrac{6\sqrt{31}}{31}a$

Câu 23

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8$ ta lập các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng $3$ chữ số lẻ và các chữ số lẻ đứng kề nhau.

A
$\displaystyle \dfrac{1}{35}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{14}$
C
$\displaystyle \dfrac{4}{35}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{14}$

Câu 24

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính $\sin$ của góc tạo bởi đường $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$ .

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{13}}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{15}}{5}$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{15}}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{13}}{5}$

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Tập $S$ gồm các số tự nhiên có $6$ chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số: $0;1;2;3;4;5;6;7;8$ chọn ngẫu nhiên một số từ tập. Mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Tập $S$ có $53.760$ phần tử
b)
Xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$ là $\dfrac{5}{14}$
c)
Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là $\dfrac{97}{560}$
d)
Tập $S$ có $560$ số mà trong số đó các chữ số lập theo thứ tự tăng dần

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a; AD = a\sqrt{3}$ , tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm $AB$ . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a)
Khoảng cách giữa hai đường $SC$ và $BD$ là: $\frac{a\sqrt{39}}{13}$
b)
Khoảng cách giữa hai đường $SH$ và $AC$ là: $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
c)
Khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $(SBD)$ là: $\frac{a\sqrt{15}}{4}$
d)
Khoảng cách giữa hai đường $SH$ và $CD$ là: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Câu 3

Cho phương trình $2\left(\sin^{4}x + \cos^{4}x\right) + \cos 4x + 2\sin 2x - m = 0$ ( $m$ là tham số). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Khi $m = 2$ thì phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$
b)
Khi $m = -2$ thì nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{\pi}{6}$
c)
Biết tập tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ là $[a;b]$ . Khi đó: $20a + 24b = 100$ .
d)
Khi $m = -2$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi}{4}$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} x^{3} + ax^{2} + bx + 1 & khi\ x \le 0 \\ cx^{2} + dx + e & khi\ x > 0 \end{cases}$

a)
Hàm số gián đoạn tại $x = 1$
b)
Nếu $e = 1$ thì hàm số liên tục trên $R$
c)
Nếu $4c + 3d + 3e = 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x \in [0;2]$
d)
Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm với mọi $a,b,c,d,e$

Câu 5

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ , $AB = 2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A'C'$ và $BC$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
b)
Thể tích khối chóp $N.ABA'B'$ bằng $a^{3}\sqrt{3}$
c)
Mặt phẳng $(AMN)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng $\frac{7\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .
d)
Mặt phẳng $(C'AN)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, tỷ số thể tích giữa phần nhỏ và phần lớn là $\frac{1}{6}$

Phần 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Gọi tập $S$ là tập hợp các số có 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 được lập từ các số $\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ . Lấy ngẫu nhiên một số trong tập $S$ . Xác suất để số được lấy ra có các chữ số chẵn đứng cạnh nhau, các chữ số lẻ đứng cạnh nhau là $\frac{a}{b}$ (với $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ ; và $a,b$ có ước chung lớn nhất bằng 1). Giá trị của $a+b$ là

Trả lời:

Câu 2

Xét các số nguyên dương $a;b$ sao cho phương trình $a\ln^{2}x + b\ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và phương trình $5\log^{2}x + b\log x + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn $x_1x_2 > x_3x_4$ . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = a^2 + 3b$ .

Trả lời:

Câu 3

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng $12\%$ so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ $32\%$ giá trị chiếc xe?

Trả lời:

Câu 4

Cho các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_a b} = \sqrt{2024}$ và biểu thức $P = \frac{1}{\log_{ab} b} - \frac{1}{\log_{ab} a}$ . Giá trị của biểu thức $P^2$ bằng

Trả lời:

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ . Biết rằng hình đa giác tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp $S.ABCD$ có diện tích bằng $\frac{5\sqrt{13}a^2}{18}$ . Khoảng cách giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{m}{\sqrt{n}}a$ với $m$ là số nguyên dương, $n$ là số nguyên tố. Giá trị $m + n$ bằng:

Trả lời:

Câu 6

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB = 3AC$ . Trên cạnh $CC'$ lấy điểm $E$ sao cho $2EC' = 3EC$ . Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(A'BE)$ bằng $6$ cm. Góc giữa mặt phẳng $(A'BE)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ . Thế tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng bao nhiêu $\text{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

HẾT