Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Trường THPT Tĩnh Gia 2, Thanh HóaMã đề 001

Trong các dãy số $(u_n)$ sau đây, dãy nào là cấp số nhân?

Đặt $\log_3 2 = a$ khi đó $\log_{16} 27$ bằng

Biết $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$. Khi đó $\lim_{x \to -1} \dfrac{f(x)}{(x+1)^4}$ bằng

Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.

Hãy ước lượng mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau?

Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo khoác. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng ghép nhóm sau:

Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DA_1$ bằng

Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp đó. Số phần tử của không gian mẫu là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có $M(1;-1)$, $N(5;-3)$ và $P$ thuộc trục $Oy$, trọng tâm $G$ nằm trên trục $Ox$. Toạ độ của điểm $G$ là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(m-1;2)$, $B(2;5-2m)$ và $C(m-3;4)$. Tìm giá trị $m$ để $A, B, C$ thẳng hàng?

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^{2}+x+2}-\sqrt[3]{7x+1}}{\sqrt{2}(x-1)} & \text{khi } x \neq 1 \\ x+m-1 & \text{khi } x=1 \end{cases}$

. Biết rằng $m=\dfrac{a\sqrt{2}}{b}$ (với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản) thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$. Giá trị của $a+b$ bằng:

Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+3}{\sqrt{2x^{2}-3}}$.

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1} & \text{khi } x \neq 1 \\ \dfrac{-5}{4} & \text{khi } x=1 \end{cases}$

. Tính $f'(1)$.

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+mx^{2}+4x+3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho $f'(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0}=2$. Tìm $\lim_{x \to 2} \dfrac{2f(x)-xf(2)}{x-2}$.

Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm

Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm 2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc độ tăng dân số là $1,1\%/$ năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu) vào năm nào?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \log\left(x^{2} - 2x - m + 1\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 8}{5}, \forall n \geq 1 \end{cases}$

và dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{n} = u_{n} - 2$. Biết $(v_{n})$ là một cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là

Cho Elip $(E): \dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$. Đường thẳng $(d): x = -4$ cắt $(E)$ tại hai điểm $M, N$. Khi đó:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{2015} + u_{4} = 1000$. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $1 < a < b$ và $\log_{a} b + \log_{b} a^{2} = 3$. Tính giá trị của biểu thức $T = \log_{ab} \dfrac{a^{2} + b}{2}$.

Cho tứ diện $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$. Gọi $M$, $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AD$ và $SA$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNP)$ là

Xét các số nguyên dương $a$, $b$ sao cho phương trình $a \ln^{2} x + b \ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và phương trình $5\log^2 x + b\log x + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3, x_4$ thỏa mãn $x_1x_2 > x_3x_4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S = 2a + 3b$

Với các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố $A$ là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt $6$ chấm:

Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai con súc sắc bằng $6$” là

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M, E, F$ lần lượt là trung điểm của $AB, SC, SD$. Biết $SO = a; AB = 2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ME$ và $CF$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = a, AB = a\sqrt{3}, AC = a\sqrt{2}$. Góc $\widehat{SAB} = 60^\circ$, $\widehat{BAC} = 90^\circ$, $\widehat{CAS} = 120^\circ$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; $M$ là trung điểm của $SD$, $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BE = 2EC$, mặt phẳng $(AME)$ cắt $SC$ tại $F$. Tính tỉ số diện tích $2$ tam giác $SFD$ và $FCD$.

Cho tam giác $ABC$ đều. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A, B$; $M$ là điểm bất kì trên đường tròn đó ($M \neq A, M \neq B$). Khẳng định nào sau đây đúng?

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$. Điểm $M$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{DM}$, $N(0;2019)$ là trung điểm của cạnh $BC$, $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $AM$ và $BD$. Biết đường thẳng $AM$ có phương trình $x-10y+2018=0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $NK$ bằng

Cho tập hợp $A=\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$. Gọi $S$ là tập hợp các số có $3$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=a; AD=2a$. Cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với đáy. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $(SAD)$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp đã cho

Trong mặt phẳng cho $n$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi $2$ trong $n-1$ điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu?

An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước $3$ séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là $0,4$ (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc

Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=f(x)=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$, ta được $y=f(x)$ là hàm số:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\dfrac{\sqrt{3}}{\sin^{2}x}=3\cot x+\sqrt{3}$ là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn $-10$ của $m$ để phương trình $(2\cos x-1)(2\cos 2x+2\cos x-m)=3-4\sin^{2}x$ có hai nghiệm thuộc $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$?

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình:

$(m+1)\cos x + (m-1)\sin x = 2m+3 \text{ có 2 nghiệm } x_1, x_2 \text{ thoả mãn: } |x_1 - x_2| = \frac{\pi}{3}?$

Một nhóm gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và thầy giáo đứng thành $2$ hàng, mỗi hàng $5$ người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, đáy lớn $BC$, $BC = 2a$, $AD = AB = a$, tam giác $SAD$ đều. Gọi $I$ là một điểm trên đoạn $BD$ ($I$ không trùng với $B$ và $D$). Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt cạnh $AB$ tại $M$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt cạnh $SB$ tại $Q$. Đặt $AM = x$. Tìm $x$ để diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $(IMQ)$ đạt giá trị lớn nhất?

Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x^2 + mx + 1$. Gọi $S$ là tổng tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt đường thẳng $y = 1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;1)$, $B$, $C$ sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại $B$, $C$ vuông góc với nhau. Giá trị của $S$ bằng

Ba số $a; b; c$ khác $0$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai dương. Nếu cộng thêm vào số hạng thứ ba $9$ đơn vị thì ta thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Nếu ta tiếp tục nhân số hạng thứ $2$ và thứ $3$ của cấp số nhân này với $-\frac{1}{8}$ ta lại thu được dãy số mới theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức $P = a + 2b + 3c$.

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt[n]{(x + a_1)(x + a_2) \dots (x + a_n)} - x \right]$.

Cho hàm số $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$. Tính giá trị biểu thức $A = f\left(\frac{1}{100}\right) + f\left(\frac{2}{100}\right) + \dots + f\left(\frac{100}{100}\right)$?

Tìm tập $S$ tất cả các giá trị thực của số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x; y)$ thỏa mãn $\log_{x^2 + y^2 + 2}(4x + 4y - 6 + m^2) \geq 1$ và $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$.

Cho tứ diện $S.ABC$ và $M$ là một điểm di động, nằm bên trong tam giác $\Delta ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA, SB, SC$ cắt các mặt phẳng tương ứng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A', B', C'$. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, khoảng cách từ $C$ đến $BB'$ là $\sqrt{5}$, khoảng cách từ $A$ đến $BB'$ và $CC'$ lần lượt là $1; 2$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $A'B'C'$ là trung điểm $M$ của $B'C'$, $A'M = \frac{\sqrt{15}}{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng