Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

Câu 1

2,0 điểm

a)
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ .
b)
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \dfrac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x}$ .

Câu 2

2,0 điểm

Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos 2x - 1 = 0$ trong đoạn $[0; \pi]$ .

Câu 3

4,0 điểm

a)
Tìm số hạng thứ 10 và xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n = \dfrac{1}{n^2 + n}$ .
b)
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 mét. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Câu 4

1,5 điểm

Một người gửi vào ngân hàng số tiền tiết kiệm là 73 triệu đồng theo hình thức lãi kép, nhằm mục đích sau 5 năm thu được số tiền là 100 triệu đồng. Tuy nhiên vì kế hoạch tài chính thay đổi nên người đó không rút tiền ra mà để sau 10 năm mới rút toàn bộ gốc và lãi. Giả sử trong suốt quá trình gửi 10 năm, lãi suất của ngân hàng không thay đổi. Tính số tiền cả gốc và lãi mà người đó nhận về sau 10 năm gửi? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị và tính theo đơn vị triệu đồng).

Câu 5

4,0 điểm

a)
Tính $\lim u_n$ với $u_n = \dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \ldots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ .
b)
Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt[3]{1+x}}{x} & \text{khi } x < 0 \\ m + \dfrac{x^3 - 3x + 1}{x+2} & \text{khi } x \ge 0 \end{cases}$

liên tục tại điểm $x_0 = 0$ .

Câu 6

6,5 điểm

a)
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB$ . Gọi $I, J, K$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA, AB, BC$ . Tìm giao tuyến của $(SAK)$ với $(SBD)$ , giao điểm của $IK$ với $(SBD)$ , giao điểm của $SD$ với $(IJK)$ .
b)
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AD$ và $AD = 2BC$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . Chứng minh $OG // (SBC)$ .
c)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $(SAB)$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA = a\sqrt{3}$ , $SB = 2a$ . Điểm $M$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $AM = 2MD$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SAB)$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ .