Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 — Trường THPT Tiên Lãng, Hải Phòng

Câu 1

1,0 điểm

Cho hàm số $y = \dfrac{x+3}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ . Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = \dfrac{1}{2}x - m$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AB$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Cho các số thực dương $a, b, c$ lớn hơn $1$ , đặt $x = \log_{a} b + \log_{b} a, y = \log_{b} c + \log_{c} b$ và $z = \log_{c} a + \log_{a} c$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz$ .
2)
Có bao nhiêu bộ $(x; y)$ với $x, y$ nguyên và $1 \leq x, y \leq 2023$ thỏa mãn:

$(xy + 2x + 4y + 8)\log_{3}\left(\dfrac{2y}{y+2}\right) \leq (2x + 3y - xy - 6)\log_{2}\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)?$

Câu 3

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $4\cos^{2} x (1 + \sin x) + 2\sqrt{3}\cos x \cos 2x = 1 + 2\sin x$ .
2)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x^{3} + 3x^{2} + 4x + 2 = y^{3} + y \\ 4x + 6\sqrt{x-1} + 7 = (4x - 1)y \end{cases}$

Câu 4

2,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $3a$ , tam giác $SAB$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

1)
Chứng minh rằng: $SA \perp (SBC)$ .
2)
Biết góc giữa $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $60^{0}$ . Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến $(SBD)$

Câu 5

1,0 điểm

Trong một hộp kín đựng $2024$ tấm thẻ như nhau được đánh số từ $1$ đến $2024$ . Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng.

Câu 6

1,0 điểm

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$ . Gọi $M, N, J$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AI, CD, BN$ . Biết phương trình đường thẳng $MJ$ là $2y - 7 = 0$ và $N(5;6)$ . Biết đỉnh $C$ có hoành độ lớn hơn $3$ . Tìm tọa độ đỉnh $C$ của hình vuông $ABCD$ .

Câu 7

1,0 điểm

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = \frac{3(b + c)}{2a} + \frac{4a + 3c}{3b} + \frac{12(b - c)}{2a + 3c}.