Đăng nhập

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Trường THPT Hậu Lộc 4, Thanh HóaMã đề 001

Thời gian
90 phút
Số câu
31 câu
Đáp án
Có đáp án

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn11,0 điểm

Câu 1

Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phuˊt)[0;20)[20;40)[40;60)[60;80)[80;100)Soˆˊ học sinh5912106\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [0;20) & [20;40) & [40;60) & [60;80) & [80;100) \\ \hline \text{Số học sinh} & 5 & 9 & 12 & 10 & 6 \\ \hline \end{array}

Nhóm chứa trung vị là

  1. A

    [60;80)\displaystyle [60;80)

  2. B

    [20;40)\displaystyle [20;40)

  3. C

    [40;60)\displaystyle [40;60)

  4. D

    [0;20)\displaystyle [0;20)

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Biết hình chiếu song song của ΔAB′D′\Delta AB'D' trên mặt phẳng (BB′C′C)(BB'C'C) là ΔBB′C′\Delta BB'C'. Khi đó phép chiếu được thực hiện theo phương chiếu là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

  1. A

    BD′\displaystyle BD'

  2. B

    AC\displaystyle AC

  3. C

    C′D′\displaystyle C'D'

  4. D

    AB′\displaystyle AB'

Câu 3

Cho tứ diện ABCDABCD có I,JI, J lần lượt là trung điểm của ADAD và BCBC, AB=CD=a,IJ=a32AB = CD = a, IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Số đo góc giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD là

  1. A

    60∘\displaystyle 60^\circ

  2. B

    90∘\displaystyle 90^\circ

  3. C

    45∘\displaystyle 45^\circ

  4. D

    30∘\displaystyle 30^\circ

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật. Gọi M,NM, N theo thứ tự là trọng tâm ΔSAB\Delta SAB và ΔSCD\Delta SCD. Khi đó MNMN song song với mặt phẳng

  1. A

    (SAB)\displaystyle (SAB)

  2. B

    (ABCD)\displaystyle (ABCD)

  3. C

    (SAC)\displaystyle (SAC)

  4. D

    (SBD)\displaystyle (SBD)

Câu 5

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi α\alpha là góc tạo bởi đường thẳng AB′AB' và mặt phẳng (BDD′B′)(BDD'B'). Giá trị góc α\alpha là?

  1. A

    30∘\displaystyle 30^\circ

  2. B

    60∘\displaystyle 60^\circ

  3. C

    90∘\displaystyle 90^\circ

  4. D

    45∘\displaystyle 45^\circ

Câu 6

Cho hàm số f(x)={x2+x−2x−1khi x≠1m2−6m+12khi x=1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 2}{x-1} & \text{khi } x \neq 1 \\ m^2 - 6m + 12 & \text{khi } x = 1 \end{cases}

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số gián đoạn tại x=1x = 1.

  1. A

    m≠2\displaystyle m \neq 2

  2. B

    m≠3\displaystyle m \neq 3

  3. C

    m≠0\displaystyle m \neq 0

  4. D

    m≠1\displaystyle m \neq 1

Câu 7

Cho mẫu số liệu

Nhiệt độ (∘C)[19;22)[22;25)[25;28)[28;31)Soˆˊ ngaˋy715126\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhiệt độ } (^\circ C) & [19;22) & [22;25) & [25;28) & [28;31) \\ \hline \text{Số ngày} & 7 & 15 & 12 & 6 \\ \hline \end{array}

Số ngày có nhiệt độ từ 22∘C22^\circ C đến dưới 25∘C25^\circ C là

  1. A

    12\displaystyle 12

  2. B

    15\displaystyle 15

  3. C

    7\displaystyle 7

  4. D

    6\displaystyle 6

Câu 8

Cho biểu thức

P(x)=[tan⁡(π−x)⋅tan⁡(3π2+x)⋅1cos⁡2(x−3π2)−cos⁡(3π2+x)⋅1sin⁡(π−x)]sin⁡2(2π−x)+2sin⁡2(x+π2)P(x)=\left[\tan(\pi - x) \cdot \tan\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) \cdot \frac{1}{\cos^{2}\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)} - \cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) \cdot \frac{1}{\sin(\pi - x)}\right] \sin^{2}(2\pi - x)+2\sin^{2}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)

Rút gọn biểu thức P(x)P(x) ta được P(x)=m.sin⁡2x+n.cos⁡2xP(x)=m.\sin^{2}x+n.\cos^{2}x. Tính S=m2+n2S=m^{2}+n^{2}.

  1. A

    S=9\displaystyle S=9

  2. B

    S=2\displaystyle S=2

  3. C

    S=4\displaystyle S=4

  4. D

    S=5\displaystyle S=5

Câu 9

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng aa và các góc BAD^\widehat{BAD}, DAA′^\widehat{DAA'}, A′AB^\widehat{A'AB} đều bằng 60∘60^{\circ}. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của AA′AA', CDCD. Gọi α\alpha là góc tạo bởi hai đường thẳng MNMN và B′CB'C thì giá trị cos⁡α\cos \alpha bằng

  1. A

    3510\displaystyle \dfrac{3\sqrt{5}}{10}

  2. B

    25\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{5}}

  3. C

    15\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{5}}

  4. D

    35\displaystyle \dfrac{3}{\sqrt{5}}

Câu 10

Cho tứ diện ABCDABCD. Gọi II và JJ lần lượt là trọng tâm ΔABC\Delta ABC và ΔABD\Delta ABD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  1. A

    IJIJ chéo nhau với CDCD

  2. B

    IJIJ cắt ABAB

  3. C

    IJIJ song song với ABAB

  4. D

    IJIJ song song với CDCD

Câu 11

Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác ABCABC thỏa mãn AB=3AB=3, AC=4AC=4, BAC^=30∘\widehat{BAC}=30^{\circ}. Mặt phẳng (P)(P) song song với (ABC)(ABC) cắt đoạn SASA tại MM sao cho SM=23SASM=\dfrac{2}{3}SA. Diện tích thiết diện của (P)(P) và hình chóp S.ABCS.ABC bằng bao nhiêu?

  1. A

    34\displaystyle \dfrac{3}{4}

  2. B

    23\displaystyle \dfrac{2}{3}

  3. C

    43\displaystyle \dfrac{4}{3}

  4. D

    32\displaystyle \dfrac{3}{2}

Câu 12

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số y=log⁡2024(x2−4x+1−m)y=\log_{2024}\left(x^{2}-4x+1-m\right) xác định với mọi x∈Rx\in \mathbb{R}.

  1. A

    m>−3\displaystyle m>-3

  2. B

    m<−3\displaystyle m<-3

  3. C

    m>3\displaystyle m>3

  4. D

    m<3\displaystyle m<3

Câu 13

Cho hàm số f(x)={x−2+3;x≥2ax−1;x<2f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-2}+3 & ; x \geq 2 \\ ax-1 & ; x < 2 \end{cases}

. Tìm aa để tồn tại lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x).

  1. A

    a=4\displaystyle a=4

  2. B

    a=3\displaystyle a=3

  3. C

    a=1\displaystyle a=1

  4. D

    a=2\displaystyle a=2

Câu 14

Bất phương trình 3x−81≤03^{x}-81 \leq 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    4\displaystyle 4

  3. C

    5\displaystyle 5

  4. D

    Vô số

Câu 15

Cho hai số thực dương a,ba,b và a≠1a \neq 1 thỏa mãn log⁡2a=b4\log_{2}a=\dfrac{b}{4}, log⁡ab=16b\log_{a}b=\dfrac{16}{b}. Tính abab.

  1. A

    ab=64\displaystyle ab=64

  2. B

    ab=16\displaystyle ab=16

  3. C

    ab=32\displaystyle ab=32

  4. D

    ab=256\displaystyle ab=256

Câu 16

Cho dãy số (un)(u_{n}) với un=n2+3n+7n+1u_{n}=\dfrac{n^{2}+3n+7}{n+1}. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    3\displaystyle 3

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 17

Cho dãy số (un)(u_{n}), biết un=n2−12n2+3u_{n}=\dfrac{n^{2}-1}{2n^{2}+3}. Tìm số hạng u3u_{3}.

  1. A

    u3=311\displaystyle u_{3}=\dfrac{3}{11}

  2. B

    u3=29\displaystyle u_{3}=\dfrac{2}{9}

  3. C

    u3=37\displaystyle u_{3}=\dfrac{3}{7}

  4. D

    u3=821\displaystyle u_{3}=\dfrac{8}{21}

Câu 18

Cho tứ giác ABCDABCD và một điểm SS không thuộc mặt phẳng (ABCD)(ABCD). Trên đoạn SCSC lấy một điểm MM không trùng với SS và CC. Gọi NN là giao điểm của đường thẳng SDSD với mặt phẳng (ABM)(ABM). Khi đó ANAN là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?

  1. A

    AN=(ABM)∩(SBC)\displaystyle AN = (ABM) \cap (SBC)

  2. B

    AN=(ABM)∩(SCD)\displaystyle AN = (ABM) \cap (SCD)

  3. C

    AN=(ABM)∩(SAD)\displaystyle AN = (ABM) \cap (SAD)

  4. D

    AN=(ABM)∩(SAC)\displaystyle AN = (ABM) \cap (SAC)

Câu 19

Có bao nhiêu giá trị nguyên của mm để phương trình 3sin⁡x+m−1=03\sin x + m - 1 = 0 có nghiệm?

  1. A

    5\displaystyle 5

  2. B

    6\displaystyle 6

  3. C

    7\displaystyle 7

  4. D

    3\displaystyle 3

Câu 20

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin⁡4x+cos⁡4x−sin⁡2xcos⁡2xy = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x là

  1. A

    0,16\displaystyle 0,16

  2. B

    0,2\displaystyle 0,2

  3. C

    0,125\displaystyle 0,125

  4. D

    0,25\displaystyle 0,25

Câu 21

Khi gửi tiền trong ngân hàng, anh An gửi 500 triệu đồng theo hình thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 5,6%5,6\%/năm. Hỏi sau 3 năm người đó có bao nhiêu tiền cả gốc và lãi? (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

  1. A

    582,43582,43 triệu đồng

  2. B

    588,8588,8 triệu đồng

  3. C

    578,06578,06 triệu đồng

  4. D

    580580 triệu đồng

Câu 22

Với a>0a > 0, b>0b > 0, α,β\alpha, \beta là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?

  1. A

    aα.aβ=aα+β\displaystyle a^{\alpha}.a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}

  2. B

    aαaβ=aα−β\displaystyle \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha-\beta}

  3. C

    aα.bα=(ab)α\displaystyle a^{\alpha}.b^{\alpha} = (ab)^{\alpha}

  4. D

    aαbβ=(ab)α−β\displaystyle \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\beta}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha-\beta}

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai6,0 điểm

Câu 23

Cho m=log⁡a(ab3)m = \log_a \left(\sqrt[3]{ab}\right); n=log⁡aabcn = \log_a \dfrac{\sqrt{ab}}{c} với a>1a > 1, b>1;c>0b > 1; c > 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

  1. a)

    log⁡ba>1\log_b a > 1

  2. b)

    3m−1=log⁡ab3m - 1 = \log_a b

  3. c)

    log⁡bc=3m−n6m−2\log_b c = \dfrac{3m - n}{6m - 2}

  4. d)

    P=log⁡a2b+16log⁡baP = \log_a^2 b + 16\log_b a đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1212

Câu 24

Cho phương trình m⋅3x2−3x+2+34−x2=36−3x+mm\cdot 3^{x^2-3x+2} + 3^{4-x^2} = 3^{6-3x} + m. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    Phương trình luôn có một nghiệm là 11 với mọi giá trị của mm

  2. b)

    Với ∀x∈(3;7)\forall x \in (3;7) thì 3x2−3x+2>36−3x3^{x^2-3x+2} > 3^{6-3x}

  3. c)

    Khi m=243m = 243 thì tổng các nghiệm của phương trình là 44

  4. d)

    Có 33 giá trị nguyên dương của mm để phương trình có đúng 33 nghiệm thực phân biệt

Câu 25

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh aa, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Gọi MM và NN lần lượt là hình chiếu của điểm AA trên các đường thẳng SBSB và SDSD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

  1. a)

    BC⊥(SAB)BC \perp (SAB)

  2. b)

    AN⊥(SBC)AN \perp (SBC)

  3. c)

    SC⊥(AMN)SC \perp (AMN)

  4. d)

    Gọi KK là giao điểm của SCSC với mặt phẳng (AMN)(AMN). Diện tích tứ giác AMKNAMKN bằng 12AK.MN\frac{1}{2}AK.MN.

Phần 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 26

Cho phương trình (1−2sin⁡3x)+cos⁡3x(sin⁡3x−cos⁡3x)=0(1-2\sin 3x)+\cos 3x(\sin 3x-\cos 3x)=0. Gọi HH là hình được tạo bởi các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác. Biết diện tích SS của hình HH bằng m32\frac{m\sqrt{3}}{2}. Tìm giá trị của mm.

Trả lời:

Câu 27

Mùa hè năm 2023, để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm cho các bạn nhỏ, dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất ăn của mỗi ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11, do số lượng thành viên tham gia tăng lên, nên lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên 10%10\% mỗi ngày (ngày sau tăng 10%10\% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

Trả lời:

Câu 28

Cho lim⁡x→0(x2+2024)1+ax3−20241+bxx=4.048\lim_{x \to 0} \frac{(x^2+2024)\sqrt[3]{1+ax}-2024\sqrt{1+bx}}{x}=4.048. Tính giá trị −2a+3b-2a+3b.

Trả lời:

Câu 29

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 88. Gọi MM là trung điểm của cạnh SBSB và NN là một điểm bất kỳ thuộc cạnh CDCD sao cho CN=xCN=x (0<x<8)(0<x<8). Mặt phẳng (α)(\alpha) chứa đường thẳng MNMN và song song đường thẳng ADAD cắt hình chóp S.ABCDS.ABCD theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất bằng c2c\sqrt{2}. Hỏi giá trị cc bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 30

Trong hình vẽ dưới đây, hai đường cong (C1):y=ax(C_1): y=a^x, (C2):y=bx(C_2): y=b^x cắt các đường thẳng y=4y=4, y=8y=8 tại 4 điểm M,N,P,QM, N, P, Q tạo thành hình thang có diện tích bằng 3030. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=3log⁡2a−12log⁡2bT=3\log_2 a-12\log_2 b.

Đồ thị hai đường cong $(C_1): y=a^x$, $(C_2): y=b^x$ cắt các đường thẳng $y=4$, $y=8$ tại 4 điểm $M, N, P, Q$
Trả lời:

Câu 31

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}

1+log⁡6(x2+1)≥log⁡6(mx2+2x+m).1+\log_6(x^2+1) \ge \log_6(mx^2+2x+m).

Trả lời:
HẾT

Hỏi ToanExam AI

ToanExam AI sẽ giúp bạn:

  • Giải thích câu hỏi và gợi ý từng bước
  • Ôn lại kiến thức nền tảng và mở rộng
  • Rèn luyện khả năng nhận biết, thông hiểu và vận dụng

Tính năng đang được phát triển và sẽ sớm ra mắt.

Đăng nhập để làm bài