Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Trường THPT Đông Sơn 1, Thanh HóaMã đề 001

Thời gian: 90 phút
Số câu: 41 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn9,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} 5x & khi\ x \le 0 \\ x^2+1 & khi\ x > 0 \end{cases}$

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
Hàm số gián đoạn tại $x=1$
B
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
C
Hàm số liên tục tại $x=0$
D
Hàm số gián đoạn tại $x=0$

Câu 2

Nghiệm dương của phương trình $\log_2\left(\sqrt{2x^2-3x+1}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1-2x^2+3x}=2$ có dạng $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ $(a,b,c \in \mathbb{N})$ . Giá trị của $a+b+c$ bằng

A
$\displaystyle 20$
B
$\displaystyle 42$
C
$\displaystyle 24$
D
$\displaystyle 23$

Câu 3

Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50m$ để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$ , cách mình một đoạn $200m$ thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ Minh là $5 km/h$ , vận tốc xe đạp của Hùng là $15 km/h$ . Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Sơ đồ minh họa vị trí các điểm A, H, C, B với AH = 50m và AB = 200m

A
$\displaystyle 24,5m$
B
$\displaystyle 23,7m$
C
$\displaystyle 27,3m$
D
$\displaystyle 25,4m$

Câu 4

Cho dãy số $(u_n)$ có các số hạng đầu là: $-1, 1, -1, 1, \ldots$ Số hạng tổng quát của dãy số này là

A
$\displaystyle u_n=(-1)^n$
B
$\displaystyle u_n=1$
C
$\displaystyle u_n=-1$
D
$\displaystyle u_n=(-1)^{n+1}$

Câu 5

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\sin^4 x+\cos 2x+m\right|$ bằng $2$ . Số phần tử của $S$ là

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 6

Đường thẳng $x=m$ lần lượt cắt đồ thị hàm số $y=\log_5 x$ và đồ thị hàm số $y=\log_5(x+4)$ tại các điểm $A, B$ . Biết rằng khi $AB=\dfrac{1}{2}$ thì $m=a+\sqrt{b}$ trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tổng $a+b$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 8$

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10;10]$ để bất phương trình $\left(6+2\sqrt{7}\right)^x+(2-m)\left(3-\sqrt{7}\right)^x-(m+1)2^x \ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$

A
$\displaystyle 12$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 11$

Câu 8

Cho $a$ thỏa mãn $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-(a^2-1)x+a^2-2}{x-1} = -1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle a < -2$
B
$\displaystyle a < 3$
C
$\displaystyle a > 1$
D
$\displaystyle a > 0$

Câu 9

Trong các hàm số: $y = 2\sin(x - \pi)$ , $y = |\sin x + \pi|$ , $y = \sin\left(\dfrac{5\pi}{2} - 2023x\right)$ , có bao nhiêu hàm số lẻ?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-4} \ge 0$ là

A
$\displaystyle S = (-\infty; -2) \cup [2; 3] \cup [4; +\infty)$
B
$\displaystyle S = [-2; 2] \cup (3; 4)$
C
$\displaystyle S = (-\infty; -2) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty)$
D
$\displaystyle S = (-\infty; -2) \cup (2; 3] \cup [4; +\infty)$

Câu 11

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng $12$ , tâm $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $d_1: x - y - 3 = 0$ , $d_2: x + y - 6 = 0$ . Trung điểm cạnh $AD$ là giao điểm của $d_1$ và $Ox$ . Biết đỉnh $A$ có tung độ dương, giả sử tọa độ $A(a; b)$ , khi đó giá trị $a^2 + 2b$ là

A
$\displaystyle 18$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 14$
D
$\displaystyle 11$

Câu 12

Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho chàng $3$ điều ước. Aladin ước $2$ điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ $3$ của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Hỏi sau $10$ ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả bao nhiêu điều ước?

A
$\displaystyle 3.096$
B
$\displaystyle 3.906$
C
$\displaystyle 3.609$
D
$\displaystyle 3.069$

Câu 13

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Giá trị $\cos\left(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}\right)$ bằng

A
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}\right) = \dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}\right) = 0$
D
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}\right) = 1$

Câu 14

Cho hình thoi $ABCD$ . Qua các đỉnh $A, B, C, D$ dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng $(ABCD)$ . Một mặt phẳng $(P)$ không song song với $(ABCD)$ cắt bốn đường thẳng nói trên tại $E, F, G, H$ . Hỏi tứ giác $EFGH$ là hình gì?

A
Hình thang vuông
B
Hình thoi
C
Hình thang cân
D
Hình bình hành

Câu 15

Cho $\ln x = 2$ . Giá trị biểu thức $T = 2\ln \sqrt{ex} - \ln \dfrac{e^2}{\sqrt{x}} + \ln 3 \cdot \log_3 \left(ex^2\right)$ bằng

A
$\displaystyle T = 7$
B
$\displaystyle T = 13$
C
$\displaystyle T = 12$
D
$\displaystyle T = 21$

Câu 16

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2} & \text{khi } x \neq 1 \\ 8+a^2 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$

. Có tất cả bao nhiêu giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$ ?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 17

Cho hàm số $f(x) = (x^2-2x+2)e^x$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A
Hàm số có $1$ điểm cực trị
B
Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
C
$\displaystyle f(-1)=\frac{5}{e}$
D
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Câu 18

Một đường tròn có bán kính $10$ cm. Độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo $\frac{\pi}{12}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) bằng

A
$\displaystyle 2,62\text{ cm}$
B
$\displaystyle 0,83\text{ cm}$
C
$\displaystyle 5,24\text{ cm}$
D
$\displaystyle 1,31\text{ cm}$

Câu 19

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oth$ , trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao $1,2\text{m}$ . Sau đó $1$ giây, nó đạt độ cao $8,5\text{m}$ và $2$ giây sau khi đá nó lên, nó ở độ cao $6\text{m}$ . Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (Tính chính xác đến hàng phần trăm)?

A
$2,59$ giây
B
$2,56$ giây
C
$2,58$ giây
D
$2,57$ giây

Câu 20

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=-2$ ; $u_n=u_{n-1}+3$ với mọi $n \ge 2$ . Số hạng tổng quát của dãy số là

A
$\displaystyle u_n=-3n+5$
B
$\displaystyle u_n=3n-1$
C
$\displaystyle u_n=3n-5$
D
$\displaystyle u_n=-3n+1$

Câu 21

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là

A
Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AB$ , $CD$
B
Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC$ , $BD$
C
Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD$ , $BC$
D
Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC$ , $BC$

Câu 22

Cho đường tròn $(C): (x-2)^2+(y+1)^2=2$ và hai điểm $A(1;3)$ , $B(3,3)$ . Điểm $M$ di động trên đường tròn $(C)$ . Biết giá trị lớn nhất của $MA+MB$ bằng $a\sqrt{b+c\sqrt{d}}$ với $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ . Giá trị $b-c-d$ bằng

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 11$

Câu 23

Kết quả viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ của biểu thức $F=\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}:a^{\frac{11}{16}}$ $(a>0)$ là

A
$\displaystyle F=a^{\frac{3}{4}}$
B
$\displaystyle F=a^{\frac{1}{4}}$
C
$\displaystyle F=a^{\frac{3}{8}}$
D
$\displaystyle F=a^{\frac{1}{2}}$

Câu 24

Tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $-2\cos^2 x+(1-2m)\sin x+m+1=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$ là

A
$\displaystyle m \in (-1;1)$
B
$\displaystyle m \in (0;2)\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}$
C
$\displaystyle m \in (0;2)$
D
$\displaystyle m \in (-1;1)\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$

Câu 25

Phương trình chính tắc của Elip, biết hình chữ nhật cơ sở có chiều rộng bằng $10$ và đường chéo bằng $10\sqrt{5}$ là

A
$\displaystyle \frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{100}=1$
B
$\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{400}=1$
C
$\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$
D
$\displaystyle \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$

Câu 26

Giả sử $u,v$ là các số thực dương sao cho $\log_9 u=\log_{12} v=\log_{16}(u+v)$ . Giá trị của $\frac{u}{v}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B
$\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C
$\displaystyle \frac{4}{3}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$

Câu 27

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ , $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A
$MN$ và $CD$ chéo nhau
B
$\displaystyle MN // CD$
C
$MN$ và $SC$ cắt nhau
D
$MN$ và $SD$ cắt nhau

Câu 28

Ông Tài gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất ông gửi vào ngân hàng X với lãi suất là 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất là 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng X và Y là 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Tài lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A
180 triệu đồng và 140 triệu đồng
B
140 triệu đồng và 180 triệu đồng
C
120 triệu đồng và 200 triệu đồng
D
200 triệu đồng và 120 triệu đồng

Câu 29

Cho đồ thị hàm số $y = ax^2 - bx + c$ , $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$a < 0$ , $b < 0$ , $c < 0$
B
$a > 0$ , $b > 0$ , $c < 0$
C
$a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$
D
$a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$

Câu 30

Cho $A = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 + (m - 2n - 3)x - 3m + 6n}{x^2 - 3x}$ . Biết $A = 0$ và biểu thức $P = m^2 + 2n^2 + m - 2n + 2020$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m_0, n_0$ . Giá trị biểu thức $M = m_0^2 + n_0^2$ bằng

A
$\displaystyle M = 3$
B
$\displaystyle M = 4$
C
$\displaystyle M = 2$
D
$\displaystyle M = 1$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 31

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có đúng một bạn tên An và 5 học sinh nữ trong đó có đúng một bạn tên Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang.

a)
Số cách xếp 10 học sinh trên là 3.628.800
b)
Số cách xếp mà An và Bình ngồi hai đầu ghế là 40.320
c)
Số cách xếp mà 5 bạn nam ngồi kề nhau là 240
d)
Số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là 18.432

Câu 32

Tuổi thọ (năm) của 50 bình ác quy ô tô được cho như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi thọ (năm)} & [2; 2,5) & [2,5; 3) & [3; 3,5) & [3,5; 4) & [4; 4,5) & [4,5; 5) \\ \hline \text{Tần số} & 4 & 9 & 14 & 11 & 7 & 5 \\ \hline \end{array}

a)
Giá trị đại diện của nhóm $[2,5; 3)$ là 0,5
b)
Mốt của mẫu số liệu trên là $\dfrac{45}{14}$
c)
Tuổi thọ trung bình của 50 bình ác quy trên là 3,48
d)
Trung vị của mẫu số liệu trên là 3,25

Câu 33

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\Delta$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $CB, SD, SC$ .

a)
Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $AB$
b)
Đường thẳng $MN$ và $CD$ cắt nhau
c)
Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(SAB)$
d)
Hai mặt phẳng $(MNP)//(SAB)$

Câu 34

Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O, $SA \perp (ABCD)$ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.

a)
$BC \perp (SCD)$
b)
$BD \perp (SAC)$
c)
$AH \perp SD$
d)
$HK \perp AI$

Câu 35

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = a\sqrt{3}$ và $SA \perp (ABCD)$ .

a)
Góc $((SBC),(SAB)) = 90^{\circ}$
b)
Góc $((SCD),(ABCD)) = 60^{\circ}$
c)
Gọi $((SDB),(ABCD)) = \alpha$ . Khi đó $\tan \alpha = 2\sqrt{3}$ .
d)
Góc nhị diện $((SCB),(SCD)) = \beta$ . Khi đó $\cos \beta = \dfrac{-1}{3}$ .

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn6,0 điểm

Câu 36

Người ta dùng 100 số nguyên dương đầu tiên để đánh số cho 100 tấm thẻ (mỗi thẻ đánh một số). Chọn ngẫu nhiên bốn thẻ trong 100 thẻ đó. Tính xác suất để chọn được bốn thẻ sao cho tích của các số ghi trên bốn thẻ chia hết cho 9 (quy tròn đến phần trăm).

Trả lời:

Câu 37

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$ . Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì An phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì An phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng trên.

Trả lời:

Câu 38

Cho tứ diện $SABC$ và $M$ là một điểm di động, nằm bên trong tam giác $ABC$ . Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA, SB, SC$ cắt các mặt phẳng tương ứng $(SBC), (SAC), (SAB)$ lần lượt tại $A', B', C'$ . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left(\dfrac{MA'}{SA}\right)^2 + 2\left(\dfrac{MB'}{SB}\right)^2 + 3\left(\dfrac{MC'}{SC}\right)^2$ (quy tròn đến chữ số hàng trăm).

Trả lời:

Câu 39

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10;10]$ để phương trình $\log_{3}^{2}(27x) - 6\log_{9}\left(\dfrac{x}{81}\right) + m\log_{3}x + 3m - 23 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa $x_1.x_2 \le 81$ .

Trả lời:

Câu 40

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left(3^{x+1} - \sqrt{3}\right)\left(3^{x} - 2m\right) < 0$ khác rỗng và chứa không quá 5 số nguyên.

Trả lời:

Câu 41

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ . Biết $AB = BC = 1, AD = 4$ . $SA \perp (ABCD)$ và góc tạo bởi $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SD$ . Tính khoảng cách của hai đường thẳng $BM$ và $SC$ (làm tròn đến chữ số phần trăm).

Trả lời:

HẾT