Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Ngãi

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu tương ứng gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

$P(t)=100+20\sin\left(\frac{7\pi}{3}t\right)$

ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 90 mmHg.

Cho phương trình $(m+1+\log_3 x)(2m-1+\log_3 x)=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3(x_1+x_2) \ge 10$.

Cho đa giác đều có $4n$ đỉnh $(n \in \mathbb{N}^*, n \ge 2)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba trong $4n$ đỉnh của đa giác đều đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập $S$. Gọi $A$ là biến cố: “Tam giác được chọn là tam giác vuông nhưng không cân”. Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của $n$, biết rằng xác suất của biến cố $A$ nhỏ hơn $\frac{2}{7}$.

Cho dãy $(u_n)$ xác định bằng hệ thức truy hồi

Tính giới hạn của dãy số $(u_n)$.

Cho khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $A'A=A'B=A'C=a$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(BDD'B')$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$, tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo $a$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $3a$, $SA=SB=SD=a\sqrt{6}$ và tam giác $ABD$ đều. Giả sử $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(P)$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$.

Trong một hoạt động ngoại khóa của Đoàn trường, lớp Thảo định mở một gian hàng bán trà sữa và kem que. Biết giá gốc một ly trà sữa là 15.000 đồng, một que kem là 5.000 đồng. Các bạn dự kiến bán trà sữa với giá 20.000 đồng/1ly và kem giá 8.000 đồng/1que. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế, các bạn trong lớp dự kiến tổng số ly trà sữa và số que kem bán được không vượt quá 200. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Thảo được dùng không quá 2.000.000 đồng. Hỏi lớp Thảo có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?

Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất “$n$ có đúng 35 ước số nguyên dương”. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất của tập hợp $S$ đã cho.