Đề thi thử học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2023–2024 — Trường THPT Trần Văn Lan, Nam Định

Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\text{ m}$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3\text{ m}$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm $A_1$, $B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được góc $\widehat{DA_1C_1} = 49^\circ$ và $\widehat{DB_1C_1} = 35^\circ$. Tính chiều cao $CD$ của tháp.

Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi nhà trường phải thuê mỗi loại xe với số lượng bao nhiêu để chi phí thuê xe thấp nhất.

Giải phương trình: $\dfrac{\sin 2x - \cos 2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3}}{2\sin x - \sqrt{3}} = 1$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 4$; $u_{n+1} = 2u_n + 3$ với $n \in \mathbb{N}^*$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tất cả các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi điểm $M$ thuộc cạnh $SD$ sao cho $SD = 3SM$, điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$.

Cho $S = \{n \in \mathbb{N}^{*} \mid n \leq 2023\}$. Lấy ngẫu nhiên 3 số thuộc tập $S$. Tính xác suất để 3 số lấy được có tổng chia hết cho 3.

Tìm điều kiện của tham số $a$ để phương trình $\frac{a^2}{1 - \tan^2 x} = \frac{\sin^2 x + a^2 - 2}{\cos 2x}$ có nghiệm.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$, cạnh $a$, góc $\widehat{BAD}=60^0$; $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$; $SO = \frac{3a}{4}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$, $F$ là trung điểm của $DE$.