Đăng nhập

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Cụm huyện Yên Dũng, Sở GD&ĐT Bắc GiangMã đề 107

Thời gian
120 phút
Số câu
44 câu
Đáp án
Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn14,0 điểm

Câu 1

Cho tập hợp A={1;2;3;...;100}A = \{1;2;3;...;100\}. Chọn ngẫu nhiên ba số thuộc AA. Xác suất để chọn được ba số có tổng bằng 90 là

  1. A

    631161.700\displaystyle \frac{631}{161.700}

  2. B

    2710.780\displaystyle \frac{27}{10.780}

  3. C

    531161.700\displaystyle \frac{531}{161.700}

  4. D

    32.156\displaystyle \frac{3}{2.156}

Câu 2

Cho hai số thực a,ba, b thoả mãn lim⁡x→2ax2−5x+bx2−4=34\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - 5x + b}{x^2 - 4} = \frac{3}{4}, giá trị của a+ba + b bằng

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    5\displaystyle 5

  3. C

    4\displaystyle 4

  4. D

    2\displaystyle 2

Câu 3

Một cấp số nhân có u1=3u_1 = 3 và q=2q = 2. Số 384 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân này?

  1. A

    6\displaystyle 6

  2. B

    7\displaystyle 7

  3. C

    8\displaystyle 8

  4. D

    9\displaystyle 9

Câu 4

Ông A mua chiếc xe ô tô với giá 800 triệu đồng. Biết rằng giá trị của chiếc xe đó mỗi năm giảm 6,7% so với năm liền trước. Hỏi sau 10 năm thì giá chiếc xe ô tô của ông A còn lại là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng triệu).

  1. A

    400 triệu

  2. B

    405 triệu

  3. C

    390 triệu

  4. D

    395 triệu

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi MM là trung điểm của SASA và dd là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (MCD)(MCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. A

    d∥BD\displaystyle d \parallel BD

  2. B

    d∥AC\displaystyle d \parallel AC

  3. C

    d∥AD\displaystyle d \parallel AD

  4. D

    d∥CD\displaystyle d \parallel CD

Câu 6

Hàm số nào dưới đây liên tục trên R\mathbb{R}?

  1. A

    y=xx2−1\displaystyle y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}

  2. B

    y=x\displaystyle y = \sqrt{x}

  3. C

    y=x2+1\displaystyle y = \sqrt{x^2 + 1}

  4. D

    y=x2−1x−1\displaystyle y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Câu 7

Với số thực aa dương tuỳ ý, a:a1116\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}} : a^{\frac{11}{16}} bằng

  1. A

    a\displaystyle a

  2. B

    a14\displaystyle a^{\frac{1}{4}}

  3. C

    a12\displaystyle a^{\frac{1}{2}}

  4. D

    a34\displaystyle a^{\frac{3}{4}}

Câu 8

Một rạp hát có 25 hàng ghế, mỗi hàng có 20 ghế. Trong một buổi biểu diễn ca nhạc, rạp hát đó đã bán được vừa hết số vé tương ứng với số ghế trong rạp hát. Tính số tiền thu được từ việc bán vé, biết rằng giá mỗi vé ở hàng ghế thứ nhất là 500.000 đồng và giá vé của hàng ghế sau ít hơn giá vé ở hàng ghế liền trước 15.000 đồng.

  1. A

    200 triệu đồng

  2. B

    125 triệu đồng

  3. C

    156,25 triệu đồng

  4. D

    160 triệu đồng

Câu 9

Tập xác định của hàm số y=log⁡2(3−2x−x2)y = \log_2(3 - 2x - x^2) là:

  1. A

    D=(−1;3)\displaystyle D = (-1; 3)

  2. B

    D=(−3;1)\displaystyle D = (-3; 1)

  3. C

    D=(0;1)\displaystyle D = (0; 1)

  4. D

    D=(−1;1)\displaystyle D = (-1; 1)

Câu 10

Cho hàm số bậc ba f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c với a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Biết rằng {a+b+c+1<04a−2b+c−8>0\begin{cases} a + b + c + 1 < 0 \\ 4a - 2b + c - 8 > 0 \end{cases}

, phương trình f(x)=0f(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

  1. A

    2\displaystyle 2

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    0\displaystyle 0

Câu 11

Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số. Xác suất để số được chọn chia hết cho 1111 hoặc 1515 là

  1. A

    1345\displaystyle \frac{13}{45}

  2. B

    16\displaystyle \frac{1}{6}

  3. C

    115\displaystyle \frac{1}{15}

  4. D

    110\displaystyle \frac{1}{10}

Câu 12

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi II là giao điểm của đường thẳng AC′AC' với (CB′D′)(CB'D'). Tỉ số IC′IA\frac{IC'}{IA} bằng

  1. A

    13\displaystyle \frac{1}{3}

  2. B

    23\displaystyle \frac{2}{3}

  3. C

    34\displaystyle \frac{3}{4}

  4. D

    12\displaystyle \frac{1}{2}

Câu 13

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,J,KI, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác SAB,SAD,ABDSAB, SAD, ABD. Mặt phẳng (IJK)(IJK) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

  1. A

    (ABCD)\displaystyle (ABCD)

  2. B

    (SBD)\displaystyle (SBD)

  3. C

    (SBC)\displaystyle (SBC)

  4. D

    (SCD)\displaystyle (SCD)

Câu 14

Tập xác định của hàm số y=cot⁡x1−sin⁡xy = \frac{\cot x}{\sqrt{1 - \sin x}} là

  1. A

    R∖{π2+k2π∣k∈Z}\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

  2. B

    R∖{kπ∣k∈Z}\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

  3. C

    R∖{π2+kπ,kπ∣k∈Z}\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

  4. D

    R∖{kπ,π2+k2π∣k∈Z}\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, \frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Câu 15

Có bao nhiêu số nguyên aa để lim⁡x→−∞[(a2−9)x3+3x2+2024x]=+∞\lim_{x \to -\infty} \left[(a^2 - 9)x^3 + 3x^2 + 2024x\right] = +\infty?

  1. A

    6\displaystyle 6

  2. B

    5\displaystyle 5

  3. C

    7\displaystyle 7

  4. D

    Vô số

Câu 16

Giá trị của tham số mm để hàm số f(x)={2x+1−1xkhi x>03x+mkhi x≤0f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} & \text{khi } x > 0 \\ 3x + m & \text{khi } x \le 0 \end{cases}

liên tục tại x=0x = 0 là

  1. A

    m=−12\displaystyle m = -\frac{1}{2}

  2. B

    m=1\displaystyle m = 1

  3. C

    m=−1\displaystyle m = -1

  4. D

    m=12\displaystyle m = \frac{1}{2}

Câu 17

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N,PM, N, P lần lượt là trung điểm của AB,B′C′,DD′AB, B'C', DD'. Thiết diện của hình hộp đã cho cắt bởi mặt phẳng (MNP)(MNP) là hình gì?

  1. A

    Lục giác

  2. B

    Ngũ giác

  3. C

    Tứ giác

  4. D

    Tam giác

Câu 18

Cho tứ diện ABCDABCD. Gọi HH, KK lần lượt là trung điểm các cạnh ABAB, BCBC. Trên đường thẳng CDCD lấy điểm MM sao cho KMKM không song song với BDBD. Tìm vị trí của điểm MM biết thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM)(HKM) là một tứ giác.

  1. A

    M≡C\displaystyle M \equiv C

  2. B

    MM nằm ngoài đoạn CDCD

  3. C

    M≡D\displaystyle M \equiv D

  4. D

    MM nằm giữa CC và DD

Câu 19

Biểu thức sin⁡(a+π3)\sin\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right) bằng

  1. A

    sin⁡a+sin⁡π3\displaystyle \sin a + \sin \dfrac{\pi}{3}

  2. B

    12sin⁡a−32cos⁡a\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a

  3. C

    12sin⁡a+32cos⁡a\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a

  4. D

    32sin⁡a+12cos⁡a\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \dfrac{1}{2}\cos a

Câu 20

Lớp 11A có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh thích học môn Toán, 28 học sinh thích học môn Văn và 6 học sinh không thích học cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp đó. Xác suất để học sinh được chọn chỉ thích học môn Toán mà không thích học môn Văn là

  1. A

    325\displaystyle \dfrac{3}{25}

  2. B

    725\displaystyle \dfrac{7}{25}

  3. C

    825\displaystyle \dfrac{8}{25}

  4. D

    225\displaystyle \dfrac{2}{25}

Câu 21

Đặt a=log⁡23a = \log_2 3, b=log⁡53b = \log_5 3. Nếu biểu diễn log⁡645=a(m+nb)b(a+p)\log_6 45 = \dfrac{a(m+nb)}{b(a+p)} với m,n,p∈Nm, n, p \in \mathbb{N} thì m+n+2pm+n+2p bằng

  1. A

    5\displaystyle 5

  2. B

    4\displaystyle 4

  3. C

    2\displaystyle 2

  4. D

    6\displaystyle 6

Câu 22

Cho hai số thực a,ba, b thoả mãn lim⁡x→+∞(3x2+x−ax2+3x+1−4x2+bx+2)=12\lim\limits_{x \to +\infty}\left(3\sqrt{x^2+x} - \sqrt{ax^2+3x+1} - \sqrt{4x^2+bx+2}\right) = \dfrac{1}{2}. Giá trị của a+2ba+2b bằng

  1. A

    −1\displaystyle -1

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    −3\displaystyle -3

Câu 23

Tam giác ABCABC có số đo một góc là 120∘120^\circ và độ dài ba cạnh của nó là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Xác định chu vi của tam giác ABCABC biết diện tích tam giác đó là 533(cm2)\dfrac{5\sqrt{3}}{3} (cm^2).

  1. A

    5(cm)\displaystyle 5(cm)

  2. B

    10(cm)\displaystyle 10(cm)

  3. C

    263(cm)\displaystyle \dfrac{26}{3}(cm)

  4. D

    15(cm)\displaystyle 15(cm)

Câu 24

Số nghiệm của phương trình cos⁡2x−3sin⁡x+1=0\cos 2x - 3\sin x + 1 = 0 thuộc khoảng (−π2;2π)\left(-\dfrac{\pi}{2}; 2\pi\right) là

  1. A

    2\displaystyle 2

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 25

Cho π2<α<3π4\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{3\pi}{4} và sin⁡α+cos⁡α=12\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}. Giá trị của cos⁡2α\cos 2\alpha bằng

  1. A

    716\displaystyle \dfrac{7}{16}

  2. B

    −74\displaystyle -\dfrac{\sqrt{7}}{4}

  3. C

    74\displaystyle \dfrac{\sqrt{7}}{4}

  4. D

    −716\displaystyle -\dfrac{7}{16}

Câu 26

Cho dãy số (un)(u_n) thoả mãn {u1=3un=un−1+4,n≥2\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_n = u_{n-1} + 4, n \ge 2 \end{cases}

.

Biết 1u1+u2+1u2+u3+…+1u2023+u2024=a−bc\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{u_{2023}}+\sqrt{u_{2024}}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{c} với a,b,ca,b,c là các số nguyên dương và b,cb,c nguyên tố cùng nhau. Tính S=a+b+cS=a+b+c.

  1. A

    8.014\displaystyle 8.014

  2. B

    8.102\displaystyle 8.102

  3. C

    8.104\displaystyle 8.104

  4. D

    8.012\displaystyle 8.012

Câu 27

Cho đa giác đều 20 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành hình thang là

  1. A

    24343\displaystyle \frac{24}{343}

  2. B

    54323\displaystyle \frac{54}{323}

  3. C

    519\displaystyle \frac{5}{19}

  4. D

    319\displaystyle \frac{3}{19}

Câu 28

Cho tứ diện ABCDABCD. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của AB,BCAB,BC; PP là điểm thuộc cạnh CDCD sao cho PC=2PDPC=2PD. Mặt phẳng (MNP)(MNP) cắt đường thẳng ADAD tại QQ, tỉ số QAQD\frac{QA}{QD} bằng

  1. A

    2\displaystyle 2

  2. B

    23\displaystyle \frac{2}{3}

  3. C

    43\displaystyle \frac{4}{3}

  4. D

    32\displaystyle \frac{3}{2}

Câu 29

Cho dãy số (un)(u_n) thoả mãn {u1=13un+1=un2un+1,n≥1\begin{cases} u_1=\frac{1}{3} \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}, n\ge 1 \end{cases}

. Tìm u2024u_{2024}.

  1. A

    u2024=14.049\displaystyle u_{2024}=\frac{1}{4.049}

  2. B

    u2024=4.049\displaystyle u_{2024}=4.049

  3. C

    u2024=14.047\displaystyle u_{2024}=\frac{1}{4.047}

  4. D

    u2024=4.047\displaystyle u_{2024}=4.047

Câu 30

Tính lim⁡x→1(2023x2023−1−2024x2024−1)\lim_{x\to 1}\left(\frac{2023}{x^{2023}-1}-\frac{2024}{x^{2024}-1}\right).

  1. A

    20242023\displaystyle \frac{2024}{2023}

  2. B

    1\displaystyle 1

  3. C

    12\displaystyle \frac{1}{2}

  4. D

    20232024\displaystyle \frac{2023}{2024}

Câu 31

Cho tứ diện ABCDABCD. Gọi M,N,P,QM,N,P,Q lần lượt là trung điểm AC,BC,BD,ADAC,BC,BD,AD. Biết rằng tứ giác MNPQMNPQ là hình thoi, khẳng định nào sau đây đúng?

  1. A

    AC=BD\displaystyle AC=BD

  2. B

    AD=BC\displaystyle AD=BC

  3. C

    AB=BC\displaystyle AB=BC

  4. D

    AB=CD\displaystyle AB=CD

Câu 32

Cho hàm số f(x)=9x9x+3f(x)=\frac{9^x}{9^x+3}. Tính P=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024)P=f\left(\frac{1}{2024}\right)+f\left(\frac{2}{2024}\right)+\ldots+f\left(\frac{2023}{2024}\right).

  1. A

    P=20252\displaystyle P=\frac{2025}{2}

  2. B

    P=20232\displaystyle P=\frac{2023}{2}

  3. C

    P=1013\displaystyle P=1013

  4. D

    P=1012\displaystyle P=1012

Câu 33

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,NM,N lần lượt là trung điểm của ABAB, ADAD và GG là trọng tâm tam giác SBDSBD. Mặt phẳng (MNG)(MNG) cắt SCSC tại điểm HH. Tính SHSC\frac{SH}{SC}

  1. A

    14\displaystyle \frac{1}{4}

  2. B

    25\displaystyle \frac{2}{5}

  3. C

    13\displaystyle \frac{1}{3}

  4. D

    23\displaystyle \frac{2}{3}

Câu 34

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành, tam giác SABSAB đều cạnh 3a3a. Gọi MM là điểm thuộc cạnh BCBC sao cho MB=2MCMB = 2MC và (P)(P) là mặt phẳng đi qua MM, song song với SASA và CDCD. Thiết diện của hình chóp S.ABCDS.ABCD cắt bởi (P)(P) có diện tích bằng

  1. A

    534a2\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}a^2

  2. B

    334a2\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2

  3. C

    332a2\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2

  4. D

    532a2\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}a^2

Câu 35

Có bao nhiêu số nguyên mm để phương trình 4sin⁡2x+3m=2(msin⁡x+23cos⁡x)4\sin 2x + \sqrt{3}m = 2(m\sin x + 2\sqrt{3}\cos x) có đúng 55 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;5π2)\left(0; \frac{5\pi}{2}\right)?

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    6\displaystyle 6

  3. C

    4\displaystyle 4

  4. D

    5\displaystyle 5

Câu 36

Hai xạ thủ A, B cùng bắn vào mục tiêu một lần. Xác suất để xạ thủ A, B bắn trúng mục tiêu lần lượt là 0,60,6 và 0,80,8. Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là

  1. A

    0,44\displaystyle 0,44

  2. B

    0,92\displaystyle 0,92

  3. C

    0,48\displaystyle 0,48

  4. D

    0,56\displaystyle 0,56

Câu 37

Một lớp có 3636 ghế đơn được xếp thành hình vuông 6×66 \times 6. Giáo viên muốn xếp 3636 học sinh, trong đó có hai anh em là Bình và An. Tính xác suất để hai anh em Bình và An luôn được ngồi gần nhau theo chiều dọc hoặc ngang?

  1. A

    221\displaystyle \frac{2}{21}

  2. B

    121\displaystyle \frac{1}{21}

  3. C

    17\displaystyle \frac{1}{7}

  4. D

    421\displaystyle \frac{4}{21}

Câu 38

lim⁡x→2−x+3x2−4\lim_{x \to 2^-} \frac{x+3}{x^2-4} bằng

  1. A

    −∞\displaystyle -\infty

  2. B

    1\displaystyle 1

  3. C

    +∞\displaystyle +\infty

  4. D

    34\displaystyle \frac{3}{4}

Câu 39

Gọi TT là tập giá trị của hàm số y=12sin⁡2x−34cos⁡2x+3y = \frac{1}{2}\sin^2 x - \frac{3}{4}\cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của TT.

  1. A

    4\displaystyle 4

  2. B

    6\displaystyle 6

  3. C

    3\displaystyle 3

  4. D

    7\displaystyle 7

Câu 40

Cho a,b,ca, b, c là các số thực dương khác 11. Hình vẽ dưới là đồ thị của ba hàm số y=log⁡ax,y=log⁡bx,y=log⁡cxy = \log_a x, y = \log_b x, y = \log_c x.

đồ thị của ba hàm số $y = \log_a x, y = \log_b x, y = \log_c x$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  1. A

    a<c<b\displaystyle a < c < b

  2. B

    c<a<b\displaystyle c < a < b

  3. C

    c<b<a\displaystyle c < b < a

  4. D

    a<b<c\displaystyle a < b < c

Phần II. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

1,5 điểm

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0;2π)(0;2\pi) của phương trình sin⁡4x2+cos⁡4x2=58\sin^4 \frac{x}{2} + \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{5}{8}.

    Câu 2

    2,5 điểm

    Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD,CDSD, CD; EE là điểm thuộc cạnh BCBC sao cho EB=2ECEB = 2EC và GG là trọng tâm tam giác SADSAD.

    1. a)

      Chứng minh CGCG song song với (SAE)(SAE).

    2. b)

      Gọi là FF giao điểm của SASA với (EMN)(EMN). Tính tỉ số SF:SASF:SA.

    Câu 3

    1,0 điểm

    Cho dãy số (un)(u_n) thoả mãn u1=1u_1 = 1, un+1=4un+2n+1u_{n+1} = 4u_n + 2^{n+1} với ∀n≥1\forall n \geq 1. Tìm u2024u_{2024}.

      Câu 4

      1,0 điểm

      Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng 8 năm 2023. Bắt đầu từ tháng 9 năm 2023, cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định 0,8%0,8\%/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo (lãi kép). Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9 năm 2025 về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2 triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau khi kết thúc ngày anh ra trường (30/6/2027) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn đồng)?

        HẾT

        Hỏi ToanExam AI

        ToanExam AI sẽ giúp bạn:

        • Giải thích câu hỏi và gợi ý từng bước
        • Ôn lại kiến thức nền tảng và mở rộng
        • Rèn luyện khả năng nhận biết, thông hiểu và vận dụng

        Tính năng đang được phát triển và sẽ sớm ra mắt.

        Đăng nhập để làm bài