Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 — Trường THPT Bình Chiểu, TP HCM

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

5,0 điểm

Giải các phương trình lượng giác sau:

a)
$\sin 3x + \cos 2x + \sin x + 1 = 0$
b)
$4\sin^2 x + \tan x + \sqrt{2}(1 + \tan x)\sin 3x = 1$

Câu 2

2,0 điểm

Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của một tỉnh $X$ từ năm 2010 đến năm 2019 là $0,4\%$ . Vì thực hiện các chính sách về dân số nên tỉnh $X$ dự kiến từ năm 2020 đến năm 2030 tỉ lệ tăng dân số mỗi năm chỉ còn lại $0,35\%$ . Theo thống kê số dân tỉnh $X$ năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là $30.400$ người. Hỏi số dân tỉnh $X$ năm 2030 khoảng bao nhiêu?

Câu 3

6,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang, $AD // BC$ và $AD = 3BC$ . Gọi $M, K$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$ .

a)
Gọi $E, O$ lần lượt là trung điểm của $SB, AC$ và $G, N$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta SAB, \Delta ABC$ . Chứng minh rằng: đường thẳng $NG$ song song với mặt phẳng $(SBC)$ .
b)
Gọi $I = AK \cap CD$ , $L = SD \cap (AMN)$ . Tính tỉ số $\dfrac{SL}{SD}$ .

Câu 4

5,0 điểm

Có $1kg$ chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian $T = 24.000$ năm thì một nửa số chất phóng xạ này sẽ bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người ( $T$ được gọi là chu kì bán rã)

(Nguồn: Đại số và giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021)

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ $n$ .

a)
Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $(u_n)$
b)
Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn bằng $0$ .
c)
Từ kết quả câu $b$ , chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}g$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho hai số tự nhiên $n; k$ thỏa mãn: $k + 3 \leq n$

Chứng minh tồn tại không quá hai giá trị của $k$ sao cho $C_n^k; C_n^{k+1}; C_n^{k+2}$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

HẾT