Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2025 — Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh HóaMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu · 8,0 điểm

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 6 câu · 7,2 điểm

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Cho hai tập hợp $A = (-3;4]$ và $B = [2;6]$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A
$\displaystyle A \cap B = [2;4]$
B
$\displaystyle A \cup B = (-3;6]$
C
$\displaystyle A \setminus B = (-3;2]$
D
$\displaystyle B \setminus A = (4;6]$

Câu 2

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BD}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Câu 3

Biết $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$ $(90^\circ < \alpha < 180^\circ)$ . Hỏi giá trị $\tan \alpha$ là bao nhiêu?

A
$\displaystyle -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -2$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{B} = 30^\circ$ , $\widehat{C} = 45^\circ$ và cạnh $AB = 3$ . Khi đó cạnh $AC$ bằng:

A
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
C
$\displaystyle \sqrt{6}$
D
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

Câu 5

Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 3a, BD = 2a$ . Tính $\left|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right|$ .

A
$\displaystyle \left|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right| = 2a$
B
$\displaystyle \left|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right| = 13a$
C
$\displaystyle \left|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right| = a\sqrt{13}$
D
$\displaystyle \left|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right| = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$

Câu 6

Điểm (thang điểm 10) của 11 học sinh cao điểm nhất trong một bài kiểm tra như sau: 10 9 10 8 9 10 9 7 8 9 10

Hãy tìm các tứ phân vị.

A
$\displaystyle Q_1 = 7, Q_2 = 8, Q_3 = 10$
B
$\displaystyle Q_1 = 8, Q_2 = 10, Q_3 = 10$
C
$\displaystyle Q_1 = 8, Q_2 = 9, Q_3 = 10$
D
$\displaystyle Q_1 = 8, Q_2 = 9, Q_3 = 9$

Câu 7

Tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 7, c = 12$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\Delta ABC$ có 3 góc nhọn
B
$\Delta ABC$ có 1 góc tù
C
$\Delta ABC$ là tam giác vuông
D
$\Delta ABC$ là tam giác đều

Câu 8

Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 2y - 1 < 0$ ?

A
$\displaystyle Q(1;1)$
B
$\displaystyle P(2;-2)$
C
$\displaystyle N(1;0)$
D
$\displaystyle M(1;-2)$

Câu 9

Cho ba điểm $A, B, C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$ là:

A
Đường tròn đường kính $AB$
B
Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$
C
Đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $AC$
D
Đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với $AB$

Câu 10

Người ta muốn đo khoảng cách từ $A$ đến $B$ nhưng không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Do đó họ thực hiện đo khoảng cách giữa $A$ và $B$ như sau: Họ xác định được một vị trí $C$ mà từ đó có thể nhìn được $A$ và $B$ dưới một góc $60^{o}$ và đo được $AC = 360m$ , $CB = 300m$ .

Sơ đồ tam giác ABC với đầm lầy giữa A và B

Tính khoảng cách giữa $A$ và $B$ (Kết quả lấy giá trị gần đúng).

A
$\displaystyle 335m$
B
$\displaystyle 406m$
C
$\displaystyle 407m$
D
$\displaystyle 334m$

Câu 11

Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong $100g$ một số loại ngũ cốc được cho như sau:

0 340 70 140 200 180 210 150 100 130 140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.

Có bao nhiêu giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.

Câu 12

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vectơ $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{i} - 5\vec{j}$ và $\vec{v} = m\vec{i} - 4\vec{j}$ . Tìm giá trị của $m$ để $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.

A
$\displaystyle m = \frac{5}{2}$
B
$\displaystyle m = -\frac{2}{5}$
C
$\displaystyle m = \frac{2}{5}$
D
$\displaystyle m = \frac{4}{5}$

Câu 13

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;2)$ , $B(3;1)$ và $C(5;4)$ . Độ dài đường phân giác trong $AD$ với $D \in BC$ là:

A
$\displaystyle AD = \frac{3}{17}$
B
$\displaystyle AD = \frac{17}{3}$
C
$\displaystyle AD = \frac{3}{8}$
D
$\displaystyle AD = \frac{8}{3}$

Câu 14

Cho hai tập hợp $A = [-5;2]$ và $B = (m-2;m+3]$ . Số giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$ là:

A
12
B
11
C
13
D
10

Câu 15

Cho tam giác $ABC$ , $M$ là một điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{MC}$ . Khi đó vectơ $\overrightarrow{AM}$ được biểu diễn theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ là

A
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

Câu 16

Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn $1500N$ lực tác động thứ hai $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn $600N$ lực tác động thứ ba $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $800N$ . Các lực này được biểu diễn bằng các vectơ như Hình 5, với $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=30^{\circ}$ , $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_3}\right)=45^{\circ}$ .

Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A
$\displaystyle 3.599(\text{N})$
B
$\displaystyle 2.500(\text{N})$
C
$\displaystyle 2099(\text{N})$
D
$\displaystyle 2.599(\text{N})$

Câu 17

Biết miền nghiệm của bất phương trình $-3x+y+2\le 0$ chứa điểm $M(2;m)$ . Giá trị lớn nhất của $m$ bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 6$

Câu 18

Cho góc $\widehat{xOy}=30^{\circ}$ . Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động lần lượt trên $Ox$ và $Oy$ sao cho $MN=3$ . Độ dài lớn nhất của đoạn $ON$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 6$

Câu 19

Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$ . Qua trung điểm $M$ của $AB$ dựng đường thẳng $MO$ cắt $CD$ tại $N$ . Biết $OA=1, OB=2, OC=3, OD=4$ . Tính $\dfrac{CN}{ND}$ .

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{5}{2}$

Câu 20

Cho tập hợp $M=\{(x;y) | x,y\in \mathbb{R}, x^{2}+y^{2}\le 0\}$ . Khi đó tập hợp $M$ có bao nhiêu tập con?

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
Vô số

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai7,2 điểm

Câu 1

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại một cần $2\text{kg}$ nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40\,000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại hai cần $4\text{kg}$ nguyên liệu và $15$ giờ đem lại mức lợi nhuận là $30\,000$ đồng. Xưởng có $200\text{kg}$ nguyên liệu và $1200$ giờ làm việc. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a)
Để sản xuất $15$ kg sản phẩm loại $1$ và $30$ kg sản phẩm loại $2$ xưởng cần dùng hết $120$ kg nguyên liệu
b)
Xưởng có thể sản xuất nhiều nhất $40$ kg sản phẩm loại $2$
c)
Lợi nhuận thu được khi xưởng sản xuất $20\text{kg}$ sản phẩm loại $1$ và $30$ kg sản phẩm loại $2$ là $1700\,000$ đồng
d)
Xưởng có thể thu được lợi nhuận nhiều nhất là $2.500.000$ đồng

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ với $BC=\sqrt{6}, CA=2, AB=1+\sqrt{3}$ .

a)
$\widehat{CAB} = 45^{\circ}$
b)
$\sin B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $\sqrt{3}$
d)
$\sin A = \sin B \cos C + \sin C \cos B$

Câu 3

Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$ . Lấy hai điểm $I, J$ sao cho: $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IC} = \vec{0}$ và $2\overrightarrow{JA} + 5\overrightarrow{JB} + 3\overrightarrow{JC} = \vec{0}$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}\right)$
b)
$\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$
c)
$J$ là trung điểm của $BI$
d)
Gọi $E$ là điểm thuộc $AB$ sao cho $\overrightarrow{AE} = \dfrac{p}{q}\overrightarrow{AB}$ (với hai số $p, q \in \mathbb{Z}^{*}, q > 0, (p, q) = 1$ ). Để ba điểm $C, E, J$ thẳng hàng thì biểu thức $T = 3p + 2q = 28$

Câu 4

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho điểm $A(1;6), B(11;2)$ .

a)
Độ dài $AB = 2\sqrt{29}$
b)
Toạ độ trung điểm của đoạn $AB$ là $I(6;4)$
c)
Toạ độ trọng tâm tam giác $OAB$ là $G\left(2;\dfrac{4}{3}\right)$
d)
Toạ độ điểm $F(0;c)$ thuộc trục tung để vectơ $\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB}$ có độ dài ngắn nhất, khi đó $c = 4$

Câu 5

Cho hai mệnh đề $P$ : “Nếu $a^{2} = b^{2}$ thì $a = b$ ” và $Q$ : “Một tam giác đều khi và chỉ khi nó là tam giác cân có một góc bằng $60^{0}$ .”

a)
Mệnh đề $Q$ là một mệnh đề đúng
b)
Mệnh đề $P$ là một mệnh đề sai
c)
Mệnh đề đảo của mệnh đề $P$ là một mệnh đề sai
d)
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là một mệnh đề đúng

Câu 6

Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 111 & 112 & 112 & 113 & 114 & 114 & 115 & 114 & 115 & 116 \\ \hline 113 & 112 & 113 & 114 & 115 & 114 & 116 & 117 & 113 & 115 \\ \hline \end{array}

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Kích thước mẫu là 20
b)
Mốt của mẫu số liệu là 116
c)
Số trung vị của mẫu số liệu trên là 114
d)
Tứ phân vị thứ ba là $Q_3 = 116$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Một nhà phân phối bánh gạo có hai nhà kho, một kho ở phía Đông và kho còn lại ở phía Tây của thành phố. Kho ở phía Đông có 80 thùng bánh gạo, kho ở phía Tây có 45 thùng bánh gạo. Sáng thứ Hai đầu tuần, đại lí $A$ cần 50 thùng bánh gạo, đại lí $B$ cần 70 thùng bánh gạo. Chi phí giao hàng cho mỗi thùng bánh gạo của kho ở phía Đông là 10 nghìn đồng cho đại lí $A$ và 12 nghìn đồng cho đại lí $B$ . Chi phí giao hàng cho mỗi thùng bánh gạo của kho ở phía Tây là 9 nghìn đồng cho đại lí $A$ và 11 nghìn đồng cho đại lí $B$ . Hỏi để chi phí vận chuyển là nhỏ nhất nhà phân phối cần vận chuyển bao nhiêu thùng bánh gạo từ kho phía Tây cho đại lí $A$ ?

Trả lời:

Câu 2

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 3 (cm)$ và điểm $M$ thỏa mãn $MO = 3R$ . Xét đường kính $AB$ với $A; B$ thay đổi trên đường tròn. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA + MB$ .

Trả lời:

Câu 3

Cho tam giác $ABC$ có $AB = c$ , $BC = a$ , $CA = b$ . Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Giá trị của $\cos A$ là $\frac{m}{n}$ với $m; n \in \mathbb{N}^*$ ; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2 - 2m$ .

Trả lời:

Câu 4

Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các điểm cần phát thư nằm dọc các con đường cần đi qua. Biết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất có thể là bao nhiêu?

sơ đồ các con đường nối các điểm A, B, C, D, E với độ dài các đoạn được ghi trên hình

Trả lời:

Câu 5

Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ , cho tam giác $ABC$ với $A(-1;0); B(0;-1); C(3;1)$ . Gọi $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua đường thẳng $AB$ . Tìm tổng hoành độ và tung độ của điểm $C'$ ?

Trả lời:

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho 3 điểm $A(1;2), B(2;-4), C(1;1)$ . Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a - 2b$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

HẾT