Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2024 — Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh HóaMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 24 câu · 12,0 điểm

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 5 câu · 5,0 điểm

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Một hộp chứa 20 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ. Tính xác suất để rút được ít nhất 1 thẻ mang số chia hết cho 5.

A
$\displaystyle \frac{11}{19}$
B
$\displaystyle \frac{8}{19}$
C
$\displaystyle \frac{29}{57}$
D
$\displaystyle \frac{28}{57}$

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = a$ , $AC = b$ , $AB = c$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2bc.\cos B$
B
$\displaystyle \cos A = \frac{b + c - a}{2bc}$
C
$\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + 2bc.\cos A$
D
$\displaystyle a = \frac{b \sin A}{\sin B}$

Câu 3

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Giá trị của biểu thức $P = \overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC})$ bằng

A
$\displaystyle a^2$
B
$\displaystyle -3a^2$
C
$\displaystyle 3a^2$
D
$\displaystyle -a^2$

Câu 4

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\vec{a} = (2;1)$ , $\vec{b} = (3;4)$ , $\vec{c} = (7;2)$ . Cho biết $\vec{c} = m.\vec{a} + n.\vec{b}$ . Khi đó

A
$\displaystyle m = \frac{1}{5}; n = \frac{-3}{5}$
B
$\displaystyle m = \frac{22}{5}; n = \frac{-3}{5}$
C
$\displaystyle m = -\frac{22}{5}; n = \frac{-3}{5}$
D
$\displaystyle m = \frac{22}{5}; n = \frac{3}{5}$

Câu 5

Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng $\Delta_1: 10x + 5y - 1 = 0$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \end{cases}$ .

A
$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}$
B
$\displaystyle \frac{3}{5}$
C
$\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}$
D
$\displaystyle \frac{3}{10}$

Câu 6

Cho tập hợp $A = [m; m + 2]$ , $B = [-1;2]$ . Tìm điều kiện của $m$ để $A \subset B$ .

A
$m \le -1$ hoặc $m \ge 0$
B
$\displaystyle -1 \le m \le 0$
C
$\displaystyle 1 \le m \le 2$
D
$m < 1$ hoặc $m > 2$

Câu 7

Cho các chữ số 1, 2, 3,.., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.

A
168
B
170
C
164
D
172

Câu 8

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$ , có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [-10;10]$ để phương trình $x^2 + y^2 - 2(m+1)x + 4y + 7m + 5 = 0$ là phương trình đường tròn?

A
16
B
11
C
15
D
12

Câu 9

Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ cho tam giác $ABC$ có $A(1;0)$ ; $B(-1;1)$ ; $C(5;-1)$ . Tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ là

A
$\displaystyle H(-1;-9)$
B
$\displaystyle H(-8;-27)$
C
$\displaystyle H(-2;5)$
D
$\displaystyle H(3;14)$

Câu 10

Hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(x + 3)^5$ là

A
90
B
5
C
10
D
30

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $AB = 5$ , $H$ là trung điểm của $BC$ . Tính $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}|$ .

A
$\displaystyle |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \frac{5\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = 5$
C
$\displaystyle |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \frac{5\sqrt{7}}{2}$
D
$\displaystyle |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \frac{5\sqrt{7}}{4}$

Câu 12

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M(1;2)$ . Gọi $A, B$ là hình chiếu của $M$ lên $Ox, Oy$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ .

A
$\displaystyle 2x + y - 2 = 0$
B
$\displaystyle x + y - 3 = 0$
C
$\displaystyle 2x + y + 2 = 0$
D
$\displaystyle x + 2y - 1 = 0$

Câu 13

Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 4 và đi qua điểm $A(0;6)$ .

A
$\displaystyle \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$
B
$\displaystyle \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$
C
$\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{36} = 1$
D
$\displaystyle \frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{36} = 1$

Câu 14

Một hộp có 4 quả cầu vàng, 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có không quá hai màu.

A
$\displaystyle \frac{369}{455}$
B
$\displaystyle \frac{67}{91}$
C
$\displaystyle \frac{69}{91}$
D
$\displaystyle \frac{335}{455}$

Câu 15

Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Sản lượng} & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\ \hline \text{Tần số} & 5 & 8 & n & m & 6 \\ \hline \end{array}

Tìm $n^2 - m^2$ biết sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là 22,1 tạ.

A
$\displaystyle 221$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 11$
D
$\displaystyle 21$

Câu 16

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
C
$MABC$ là hình bình hành
D
$\displaystyle \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BC}$

Câu 17

Cho đường thẳng $d: 5x + 3y - 7 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{n_3} = (5;3)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{n_4} = (-5;-3)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{n_2} = (3;-5)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{n_1} = (3;5)$

Câu 18

Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $CM = 2MB$ và $I$ là trung điểm của $AB$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{IM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{IM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Câu 19

Tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 - 13x + 16} = 7 - x$ là

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 20

Cho tam giác $ABC$ với phân giác trong $AD$ . Biết $AB = 5$ , $BC = 6$ , $CA = 7$ . Khi đó $\overrightarrow{AD}$ bằng:

A
$\displaystyle \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \frac{7}{12}\overrightarrow{AB} - \frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$
C
$\displaystyle \frac{7}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \frac{5}{12}\overrightarrow{AB} - \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Câu 21

Cho tập hợp $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ . Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập $A$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$ , xác định và tính số phần tử của không gian mẫu?

A
$\displaystyle 2.880$
B
$\displaystyle 6.720$
C
$\displaystyle 3.720$
D
$\displaystyle 56$

Câu 22

Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 5, 8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số $3$ .

A
$36$ số
B
$108$ số
C
$228$ số
D
$144$ số

Câu 23

Cần xếp 12 bạn, trong đó có An và Bình thành một hàng dọc để chuẩn bị cho 1 tiết mục múa. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau để An và Bình đứng cạnh nhau?

A
$7.257.600$ cách
B
$79.833.600$ cách
C
$958.003.200$ cách
D
$479.001.600$ cách

Câu 24

Khai triển biểu thức $(a + bx)^4$ , viết các số hạng theo thứ tự bậc của $x$ tăng dần, nhận được biểu thức gồm hai số hạng đầu tiên là $16 - 96x$ . Tính $S = a^2 + b^2$

A
$\displaystyle S = 2$
B
$\displaystyle S = 12$
C
$\displaystyle S = 9$
D
$\displaystyle S = 13$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 1

Cho các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Có 216 số tự nhiên gồm 3 chữ số
b)
Có 60 số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
c)
Có 40 số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2
d)
Có 180 số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị

Câu 2

Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần liên tiếp”. Gọi $A$ là biến cố “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”.

a)
Không gian mẫu của T gồm 12 phần tử
b)
$\overline{A}$ là biến cố “Không có lần nào xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”
c)
Xác suất biến cố $A$ là $P(A) = \dfrac{1}{4}$
d)
Gọi $m, n$ lần lượt là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất và thứ hai. Xác suất để phương trình $x^2 + mx + 4n = 0$ có nghiệm là $\dfrac{1}{9}$ .

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 4x + 4y + 6 = 0$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $x + my - 2m + 3 = 0$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Tọa độ tâm I của đường tròn là $I(2;2)$
b)
Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng $\Delta$ khi $m = \dfrac{1}{4}$
c)
Có 1 số nguyên dương của $m$ để $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt
d)
Khi $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt A, B thì giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB bằng $\dfrac{1}{2}$

Câu 4

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách $AB = 4$ km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng là $7$ km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $3$ km/h rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $5$ km/h như hình vẽ. Đặt $BM = x$ . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Sơ đồ vị trí ngọn hải đăng A cách bờ biển AB = 4 km, kho C cách B 7 km và điểm M trên bờ biển với BM = x

Ảnh ngọn hải đăng trên mỏm đá giữa biển lúc hoàng hôn

a)
Đặt $BM = x$ thì điều kiện của $x$ là $x \in [0;7]$
b)
Thời gian người canh hải đăng đi từ $M$ đến $C$ là $\dfrac{7 - x}{5}$
c)
Nếu thời gian người đó đi từ $A$ đến $C$ là 148 phút thì khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$ là $4$ km
d)
Quãng đường đi từ $A$ đến $M$ là $AM = \sqrt{16 - x^2}$

Câu 5

Cho hàm số bậc hai $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) là parabol có đỉnh I(2; -2) và cắt trục tung tại điểm (0; 2)

Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a)
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng $y = 2$
b)
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$
c)
Có tất cả 3 giá trị nguyên của $x$ để $f(x) \le 0$
d)
Phương trình $f(2 - f(x)) = 2$ có 3 nghiệm phân biệt

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho đường thẳng $\Delta_m : (m-2)x + (m+1)y - 5m + 1 = 0$ với $m$ là tham số, và điểm $A(-3;9)$ . Giả sử $m = \frac{a}{b}$ (là phân số tối giản) để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta_m$ là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $S = 2a - b$ .

Trả lời:

Câu 2

Cho tập hợp $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ . Từ $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?

Trả lời:

Câu 3

Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên. Biết chiều cao cổng parabol là $4\mathrm{m}$ còn kích thước cửa ở giữa là $3\mathrm{m} \times 4\mathrm{m}$ . Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ . (xem hình vẽ bên dưới)

Cổng parabol với đỉnh G, đáy AB và hình chữ nhật CDEF ở giữa

Trả lời:

Câu 4

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I(1;0)$ , bán kính $R = 5$ . Chân các đường cao kẻ từ $B, C$ lần lượt là $H(3;1), K(0;-3)$ . Tính bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCHK$ , biết rằng điểm $A$ có tung độ dương.

Trả lời:

Câu 5

Số các giá trị nguyên của tham số $m \in [-2021;2021]$ để phương trình: $x^2 + (2 - m)x + 4 = 4\sqrt{x^3 + 4x}$ có nghiệm là bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 6

Biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n+1}^0 + C_{2n+1}^2 + C_{2n+1}^4 + \ldots + C_{2n+1}^{2n} = 1024$ . Tổng các hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của $\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}x^2\right)^n$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

HẾT