Đề thi học sinh giỏi Toán 10 lần 2 năm 2023–2024 — Trường THPT Nguyễn Quán Nho, Thanh HóaMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 24 câu

Phần B. Câu trắc nghiệm đúng sai — 5 câu

Phần C. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{3x-1}{2x-2}$ .

A
$\displaystyle D = (1; +\infty)$
B
$\displaystyle D = [1; +\infty)$
C
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
D
$\displaystyle D = \mathbb{R}$

Câu 2

Cho hàm số $y = -x^{2} + 4x - 3$ . Chọn khẳng định đúng.

A
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
B
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
C
Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$
D
Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$

Câu 3

Cho hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $SAB$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là điểm di động trên đoạn $AB$ . Qua $M$ vẽ mặt phẳng $(\alpha)$ song song với $(SBC)$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp $S.ABCD$ là hình gì?

A
Hình tam giác
B
Hình bình hành
C
Hình thang
D
Hình vuông

Câu 4

Cho hai vectơ $\vec{a} = (-1; 1)$ , $\vec{b} = (2; 0)$ . Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là

A
$\displaystyle 45^{\circ}$
B
$\displaystyle 60^{\circ}$
C
$\displaystyle 135^{\circ}$
D
$\displaystyle 90^{\circ}$

Câu 5

Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết môn Hóa

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Điểm} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \text{Cộng} \\ \hline \text{Số học sinh} & 2 & 3 & 7 & 18 & 3 & 2 & 4 & 1 & 40 \\ \hline \end{array}

Số trung bình là?

A
$\displaystyle 6,1$
B
$\displaystyle 6,5$
C
$\displaystyle 6,7$
D
$\displaystyle 6,9$

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $[0;4]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0;4]$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle M = 2; m = 1$
B
$\displaystyle M = 4; m = 2$
C
$\displaystyle M = 2; m = -2$
D
$\displaystyle M = 2; m = 0$

Câu 7

Khoảng cách từ điểm $M(5; -1)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 2y + 13 = 0$ là

A
$\displaystyle \dfrac{13}{\sqrt{2}}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle \dfrac{28}{\sqrt{13}}$
D
$\displaystyle 2\sqrt{13}$

Câu 8

Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$ . Số phần tử của tập hợp $A$ là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 9

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ .

A
$\displaystyle I(-1;2); R = 4$
B
$\displaystyle I(1;-2); R = 2$
C
$\displaystyle I(-1;2); R = \sqrt{5}$
D
$\displaystyle I(1;-2); R = 4$

Câu 10

Trong hộp có $4$ viên bi xanh, $5$ viên bi đỏ, $6$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp $3$ viên bi. Số cách chọn là

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle C_4^3 + C_5^3 + C_6^3$
C
$\displaystyle C_{15}^3$
D
$\displaystyle A_{15}^3$

Câu 11

Cho hàm số $y = f(x) = -x^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ.

Nhận định nào sau đây đúng về dấu hệ số $b$ và $c$ ?

A
$\displaystyle b > 0; c > 0$
B
$\displaystyle b > 0; c < 0$
C
$\displaystyle b < 0; c > 0$
D
$\displaystyle b < 0; c < 0$

Câu 12

Cho tứ diện $ABCD$ có $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, BC$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $CP = 2PD$ và $Q$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho bốn điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$
B
$\displaystyle DQ = 2AQ$
C
$\displaystyle AQ = 2DQ$
D
$\displaystyle AQ = 3DQ$

Câu 13

Hình bình hành $ABCD$ có $AB = a$ , $BC = a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD} = 45^{\circ}$ . Khi đó hình bình hành có diện tích là

A
$\displaystyle 2a^2$
B
$\displaystyle a^2\sqrt{2}$
C
$\displaystyle a^2$
D
$\displaystyle a^2\sqrt{3}$

Câu 14

Cho tam giác $ABC$ , $M$ là một điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{MC}$ . Khi đó vectơ $\overrightarrow{AM}$ được biểu diễn theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ là

A
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AM} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

Câu 15

Người ta điều tra ngẫu nhiên số cân nặng của $30$ học sinh nữ một trường phổ thông, được ghi trong bảng sau:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số cân nặng (kg)} & 38 & 40 & 43 & 45 & 48 & 50 & \\ \hline \text{Tần số} & 2 & 4 & 9 & 6 & 4 & 5 & \mathbf{N = 30} \\ \hline \text{Tần suất (\%)} & 6,67 & 13,33 & 30 & 20 & 13,33 & 16,67 & \\ \hline \end{array}

Số cân nặng trung bình $\overline{x}$ , số trung vị $M_e$ , mốt $M_0$ của bảng thống kê trên là

A
$\displaystyle \overline{x} = 45; M_e = 44; M_0 = 43$
B
$\displaystyle \overline{x} = 44; M_e = 44,5; M_0 = 43$
C
$\displaystyle \overline{x} = 44; M_e = 44; M_0 = 44$
D
$\displaystyle \overline{x} = 44,5; M_e = 44; M_0 = 43$

Câu 16

Với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 = 55$ , hệ số của $x^5$ trong khai triển của biểu thức $\left(x^3 + \dfrac{2}{x^2}\right)^n$ bằng

A
8.064
B
3.360
C
8.440
D
6.840

Câu 17

Tất cả các giá trị của $m$ để parabol $(P): y = x^2 + 2mx + 2m$ cắt đường thẳng $d: y = 2x + 3$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn $2$ là

A
$\displaystyle m > 2$
B
$\displaystyle m > \dfrac{1}{2}$
C
$\displaystyle \begin{cases} m \neq 2 \\ m > \dfrac{1}{2} \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} m > -\dfrac{1}{2} \\ m \neq 2 \end{cases}$

Câu 18

Cho hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ . Biết đồ thị là một đường parabol có đỉnh $I(1; -3)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$ . Giá trị của $f(3)$ bằng

A
9
B
21
C
1
D
5

Câu 19

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$ , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

A
$\displaystyle \dfrac{25}{42}$
B
$\displaystyle \dfrac{5}{21}$
C
$\displaystyle \dfrac{65}{126}$
D
$\displaystyle \dfrac{55}{126}$

Câu 20

Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-10; 10)$ để hàm số

f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{-x^2 - (m-1)x + 2m^2 - m}}

xác định với mọi giá trị $x$ trên khoảng $(-1; 2)$

A
20
B
17
C
16
D
19

Câu 21

Cho đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x)$ như hình vẽ:

Đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) có đỉnh I(1; -3), cắt trục tung tại -1 và cắt trục hoành tại x = 2

Tìm số nghiệm của phương trình $f(f^2(x) + 3f(x) + 1) = -3$ .

Câu 22

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2; 5)$ , cắt các tia $Ox$ , $Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A
$\displaystyle (4; -5)$
B
$\displaystyle (7; 3)$
C
$\displaystyle (0; 20)$
D
$\displaystyle (-2; 15)$

Câu 23

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $AC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(GMN)$ và $(BCD)$ là đường thẳng:

A
qua $M$ và song song với $AB$
B
Qua $N$ và song song với $BD$
C
qua $G$ và song song với $CD$
D
qua $G$ và song song với $BC$

Câu 24

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ . Giao tuyến của $(SMN)$ và $(SAC)$ là

A
$SK$ ( $K$ là trung điểm của $AB$ )
B
$SO$ ( $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ )
C
$SF$ ( $F$ là trung điểm của $CD$ )
D
$\displaystyle SD$

Phần B. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 25

Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm $BC$ .

a)
$|\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA}| = IA$
b)
$|\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}| = BC$
c)
$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2AI$
d)
$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 3GA$

Câu 26

Cho hàm số bậc hai $(P): y = 2x^{2} + x - 3$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Điểm $A(0;3)$ thuộc đồ thị $(P)$
b)
Đồ thị hàm số bậc hai $(P)$ có tọa độ đỉnh là $I\left(-\dfrac{1}{4}; -\dfrac{25}{8}\right)$
c)
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2)$ và đồng biến trên khoảng $(3; +\infty)$
d)
Có 5 giá trị nguyên dương $m \in [-3;10)$ để đường thẳng $(d): y = -(m+1)x - m - 2$ cắt đồ thị $(P): y = 2x^{2} + x - 3$ tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung

Câu 27

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B(-12;1)$ và đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $d: x + 2y - 5 = 0$ . Điểm $G\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}\right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

a)
Hình chiếu của điểm $B$ trên đường thẳng $d$ có tọa độ $(-9;7)$
b)
Tung độ điểm $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $d$ là một số âm
c)
Hai vectơ $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{B'C}$ cùng phương với nhau
d)
Có hai điểm $C$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 28

Cho tập hợp $A = \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$

a)
Từ tập hợp A lập được 648 số có 3 chữ số
b)
Từ tập hợp A lập được 320 số lẻ có 3 chữ số
c)
Từ tập hợp A lập được 328 số chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau
d)
Từ tập hợp $A$ có thể lập 195.720 số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số tự nhiên đó không chia hết cho số 5 nhưng luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5

Câu 29

Một nhóm 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ trong đó có một bạn nữ tên Trang và một bạn nam tên Mạnh. Xếp nhóm học sinh đó thành một hàng ngang.

a)
Số cách sắp xếp là 40.320 cách
b)
Xác suất để nam và nữ đứng xen kẽ nhau bằng $\dfrac{1}{14}$
c)
Xác suất để hai bạn Trang và Mạnh luôn đứng cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{4}$
d)
Xác suất để Trang và Mạnh không đứng cạnh nhau đồng thời ở giữa Trang và Mạnh không có học sinh nam nào bằng $\frac{3}{20}$

Phần C. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 30

Cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M$ là trung điểm của $AC$ . Trên cạnh $AD$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=2ND$ , trên cạnh $BC$ lấy điểm $Q$ sao cho $BC=4BQ$ . Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(BCD)$ , $J$ là giao điểm của đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(MNQ)$ . Khi đó $\frac{JB}{JD}+\frac{JQ}{JI}$ bằng

Trả lời:

Câu 31

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $(x^2+4x+3)\sqrt{x-m}=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Trả lời:

Câu 32

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có điểm $B(2;0)$ , điểm $A$ tung độ nhỏ hơn $8$ nằm trên tia $Oy$ và $C$ nằm trên tia $Ox$ . Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(3;2)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $8$ có phương trình là $mx+ny-12=0$ . Tính $m.n$

Trả lời:

Câu 33

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là $27$ (triệu đồng) và bán ra với giá là $31$ triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là $600$ chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm $1$ triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm $200$ chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

Trả lời:

Câu 34

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA=a\sqrt{3}$ , $SB=2a$ . Điểm $M$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $AM=2MD$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SAB)$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ .

Trả lời:

Câu 35

Trong lễ tổng kết năm học 2021-2022, lớp 10A1 nhận được $20$ cuốn sách gồm $5$ cuốn sách Toán, $7$ cuốn sách Vật lí, $8$ cuốn sách Hóa học, các sách cùng môn là giống nhau. Số sách này được chia đều cho $10$ học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là $2$ trong số $10$ học sinh đó. Hỏi có bao nhiêu cách chia quà sao cho $2$ cuốn sách mà Bình nhận được giống $2$ cuốn sách của Bảo.

Trả lời:

HẾT