Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Trường THPT Anh Sơn 3, Nghệ An

Thời gian: 150 phút
Số câu: 23 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 2 câu

Phần B. Tự luận — 5 câu

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Biết rằng $A = [-3;11)$ và $B = (-8;1]$ . Khi đó $A \cap B$ bằng

A
$\displaystyle [-3;1]$
B
$\displaystyle (-3;1)$
C
$\displaystyle (-8;11)$
D
$\displaystyle [-3;1)$

Câu 2

Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của $x$ ?

A
$\displaystyle f(x) = x^{2} - 2x -10$
B
$\displaystyle f(x) = x^{2} - 2x +10$
C
$\displaystyle f(x) = x^{2} -10x +2$
D
$\displaystyle f(x) = -x^{2} +2x +10$

Câu 3

Cho tam giác $\Delta ABC$ có $b=7; c=5; \cos A = \dfrac{3}{5}$ . Diện tích của tam giác $\Delta ABC$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{21}{2}$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 8\sqrt{3}$
D
$\displaystyle 14$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$

Câu 5

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -3 - t \end{cases}$ là:

A
$\displaystyle \overrightarrow{n_{2}} = (3;-1)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{n_{1}} = (2;-3)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{n_{3}} = (1;3)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{n_{4}} = (3;1)$

Câu 6

Miền gạch chéo như hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào?

Miền gạch chéo biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy với các đường thẳng d1, d2, d3

A
$\displaystyle \begin{cases} 2x + y < 1 \\ -x + 2y > 2 \\ 3x - y > -6 \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} 2x + y > 1 \\ -x + 2y < 2 \\ 3x - y > 6 \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} 2x + y > 1 \\ x - 2y < 2 \\ 3x - y > 6 \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} 2x + y < 1 \\ -x + 2y < 2 \\ 3x - y > -6 \end{cases}$

Câu 7

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A
$\displaystyle \cos(180^{0} - \alpha) = \cos \alpha$
B
$\displaystyle \sin(180^{0} - \alpha) = -\sin \alpha$
C
$\displaystyle \cot(180^{0} - \alpha) = -\cot \alpha$
D
$\displaystyle \tan(180^{0} - \alpha) = \tan \alpha$

Câu 8

Cho hàm số $f(x) = ax^{2} + bx + c, a \neq 0$ có bảng xét dấu như sau:

\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 3 & & 5 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & \vert & + & 0 & + & \vert & + & \\ \hline \end{array}

Tìm mệnh đề đúng.

A
$\displaystyle f(0) > f(4) > f(3)$
B
$\displaystyle f(0) > f(3) > f(4)$
C
$\displaystyle f(0) < f(3) < f(4)$
D
$\displaystyle f(4) > f(0) > f(3)$

Câu 9

Hàm số nào sau đây có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = \frac{3x}{x^{2} - 4}$
B
$\displaystyle y = \frac{2\sqrt{x}}{x^{2} + 4}$
C
$\displaystyle y = x - \sqrt{x + 1}$
D
$\displaystyle y = x^{2} - \sqrt{x^{2} + 1} - 3$

Câu 10

Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 8x + 7 \ge 0$ . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của $S$ ?

A
$\displaystyle (-\infty; -1]$
B
$\displaystyle [8; +\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty; 0]$
D
$\displaystyle [6; +\infty)$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=30^{\circ}$ , $AB=5$ , $BC=8$ . Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ .

A
$\displaystyle 20\sqrt{3}$
B
$\displaystyle 40\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 20\sqrt{2}$
D
$\displaystyle 20$

Câu 12

Tâm của đường tròn $(C): x^{2} + y^{2} - 10y + 1 = 0$ cách trục $Ox$ một khoảng bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 1$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $A(2;-1)$ và $B(0;3)$ .

a)
Tọa độ của $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\vec{i}$ bằng $(-3;8)$
b)
Tọa độ điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ là $I(1;1)$
c)
Biết tam giác $ABD$ có trọng tâm là gốc tọa độ $O$ , tọa độ điểm $D$ là $(-2;-2)$
d)
Tọa độ điểm $K$ thuộc trục $Ox$ sao cho độ dài $AK$ ngắn nhất là $K(0;2)$

Câu 2

Có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam cùng xếp theo một hàng ngang, khi đó:

a)
Có $5.040$ cách xếp hàng tùy ý $7$ học sinh
b)
Có $144$ cách xếp hàng để học sinh cùng giới đứng cạnh nhau
c)
Có $288$ cách xếp hàng để học sinh nam và nữ xếp xen kẽ
d)
Có $720$ cách xếp hàng để học sinh nữ đứng cạnh nhau

Câu 3

Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}-2mx-2m+3$

a)
Với $m=1$ , tam thức $f(x)$ có nghiệm $x=1$
b)
Tam thức $f(x)$ có biệt thức $\Delta' = m^{2}+2m+3$
c)
Tam thức $f(x)$ luôn dương với mọi $m\in(-3;1)$
d)
Giả sử tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ , khi đó biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=\frac{3}{2}$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$ , $AC=3$ , $\widehat{BAC}=60^{0}$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ . Điểm $D$ thỏa mãn $12\overrightarrow{AD}=7\overrightarrow{AC}$ .

a)
$BC=\sqrt{19}$
b)
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3$
c)
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
d)
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=1$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Xét trên khu vực biển khá nhỏ ta xem mặt biển là một mặt phẳng. Đặt vào mặt phẳng ấy một hệ trục tọa độ $Oxy$ , mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\,km$ . Có ba hòn đảo $A,B,C$ có tọa độ thỏa mãn $A(1;2),$ $\overrightarrow{AB}(60;80), \overrightarrow{AC}(10;10)$ . Một chiếc tàu chở du khách từ đảo $A$ đến đảo $B$ để tham quan du lịch. Khi di chuyển thì du khách thấy đảo $C$ hiện ra thấp thoáng. Khoảng cách ngắn nhất của chiếc tàu chở du khách đến đảo $C$ là bao nhiêu $km$ ?

Sơ đồ minh họa tàu di chuyển từ đảo A đến đảo B và vị trí đảo C

Trả lời:

Câu 2

Cho hai tập hợp $A = [m; m + 2], B = (0;6)$ . Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để $A \subset B$ .

Trả lời:

Phần B. Tự luận

Câu 1

2,5 điểm

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{2+x} + \dfrac{3}{\sqrt{1-2x}}$

Câu 2

2,5 điểm

Tìm phương trình của parabol (P) $y = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ , biết rằng parabol đi qua điểm $M(-1;9)$ và có đỉnh $I(1;1)$ .

Câu 3

2,5 điểm

Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, một trường THPT tổ chức cho các lớp gói bánh chưng và bánh tét. Mỗi lớp được sử dụng tối đa $10$ kg gạo nếp, $1$ kg thịt và $1,6$ kg đậu xanh. Để gói $1$ cái bánh chưng cần $0,5$ kg gạo nếp, $0,05$ kg thịt và $0,1$ kg đậu xanh. Để gói $1$ cái bánh tét cần $0,75$ kg gạo nếp, $0,075$ kg thịt và $0,1$ kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng bán được $30$ ngàn đồng, mỗi cái bánh tét bán được $40$ ngàn đồng. Để thu được số tiền nhiều nhất, mỗi lớp cần gói bao nhiêu cái bánh chưng, bao nhiêu cái bánh tét?

Câu 4

2,5 điểm

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có điểm $M(2;3)$ là trung điểm của cạnh $AB$ , điểm $H(1;5)$ và điểm $K(5;9)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $C$ và $B$ , điểm $D$ thuộc đường thẳng $\Delta: x - 2y -1 = 0$ sao cho tam giác $BCD$ cân tại $C$ . Tìm tọa độ các điểm $C$ và $D$ , biết rằng điểm $B$ có hoành độ âm.

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $BC$ , $CA$ và $AB$ của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm $A'$ , $B'$ và $C'$ . Gọi $S_a$ , $S_b$ , $S_c$ và $S$ tương ứng là diện tích của các tam giác $AB'C'$ , $BC'A'$ , $CA'B'$ và $ABC$ . Chứng minh bất đẳng thức $\sqrt{S_a} + \sqrt{S_b} + \sqrt{S_c} \leq \dfrac{3}{2}\sqrt{S}$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

HẾT