Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2024 — Trường THPT Tiên Lãng, Hải Phòng

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = x^2 + (2 - m)x - 4$ có đồ thị là $(P)$ và điểm $A(-5;5)$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y = -x + m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$ sao cho tứ giác $OAMN$ là hình bình hành ( $O$ là gốc tọa độ).
2)
Một chiếc cầu được bắc qua sông. Để trợ lực cho cây cầu, người ta làm một vòm đỡ cong hình parabol. Với hệ trục tọa độ $xOh$ được gắn vào như hình vẽ, biết rằng khoảng cách giữa 2 chân của vòm đỡ là $AB = 60m$ . Khoảng cách từ chân cầu (điểm $C$ ) tới điểm $O$ là $7m$ . Tại một điểm cách chân cầu (điểm $C$ ) $17m$ , người ta đo được khoảng cách từ mặt cầu xuống vòm đỡ là $5m$ . Tìm chiều cao tối đa $h_{\max}$ của vòm đỡ (khoảng cách từ đỉnh vòm đến đường thẳng $AB$ )

Câu 2

1,5 điểm

Giải hệ phương trình

\begin{cases} x^4 + x^2 y^2 - x^3 y = 1 \\ x^3 y + xy - x^2 = -1 \end{cases}

Câu 3

2,5 điểm

1)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $d: 3x + 4y - 2 = 0$ và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng $6$ .
2)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hình chữ nhật $ABCD$ , có đỉnh $A(-3;1)$ , đỉnh $C$ nằm trên đường thẳng $\Delta: x - 2y - 5 = 0$ . Trên tia đối của tia $CD$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = CD$ , biết $N(6;-2)$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên đường thẳng $BE$ . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật $ABCD$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cột cờ Lũng Cú là một cột cờ quốc gia nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) có độ cao khoảng $1.700m$ so với mực nước biển, thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, nơi điểm cực Bắc của Việt Nam.

Sơ đồ đo chiều cao thân tháp với các điểm O, C, H, A, B và các góc $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$

Để đo chiều cao của thân tháp cột cờ người ta đứng ở các vị trí $A, B$ là hai điểm ở thung lũng dưới núi cách nhau $15m$ (như hình vẽ) là hai vị trí được chọn để đặt giác kế nhìn đỉnh của thân tháp $O$ và đáy tháp $C$ sao cho bốn điểm $A, B, C, O$ đồng phẳng. Khi tiến hành quan sát người đó đo được các góc $\widehat{CAH} = 25,1^{0}, \widehat{CBH} = 26,5^{0}; \widehat{OAH} = 28,5^{0}, \widehat{OBH} = 30^{0}$ (với $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $AB$ ). Tính chiều cao thân tháp cột cờ.

Câu 5

1,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ đều, có cạnh bằng $a$ . Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn:

\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} = \frac{a^{2}}{6}.

Câu 6

2,0 điểm

1)
Đêm diễn văn nghệ chào mừng sinh nhật Đoàn $26/3$ năm học $2023-2024$ tại một trường trung học phổ thông $X$ có $15$ tiết mục gồm $7$ tiết mục múa, $5$ tiết mục tốp ca, $3$ tiết mục đơn ca. Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự các tiết mục biểu diễn sao cho tiết mục đầu tiên và tiết mục cuối cùng là tốp ca, đồng thời không có hai tiết mục nào cùng thể loại biểu diễn liên tiếp nhau?
2)
Tính tổng: $S = 2^{2}C_{2025}^{2} - 3^{2}C_{2025}^{3} + \ldots + (-1)^{k}k^{2}C_{2025}^{k} + \ldots - 2025^{2}C_{2025}^{2025}$ .