Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2024–2025 — Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

1)
Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{2-3x}} + \sqrt{2x - 1}$
2)
Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{x\sqrt{2}+1}{x^2+2x-m+1}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ .

Câu 2

2,0 điểm

Khi biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $ax + by + 2 \le 0$ , ta được miền nghiệm trong hình vẽ sau đây. Hãy tìm giá trị $a$ và $b$

Miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+2\le 0$

Câu 3

3,0 điểm

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích $8$ ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần $20$ công và thu $3$ triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần $30$ công và thu $4$ triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá $180$ công.

Câu 4

2,0 điểm

Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy $3$ điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( $AB = 4,3$ cm; $BC = 3,7$ cm; $CA = 7,5$ cm). Tính đường kính của chiếc đĩa này. (kết quả làm tròn đến phần trăm)

Mảnh gốm vỡ với tam giác $ABC$ và các kích thước được đánh dấu

Câu 5

4,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có trọng tâm $G$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $OBC, OCA, OAB$ và $G'$ là trọng tâm của tam giác $MNP$ . Chứng minh ba điểm $O, G, G'$ thẳng hàng.
2)
Cho tam giác $ABC$ có $A(3; 4), B(2; 1), C(-1; -2)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $S_{ABC} = 3S_{ABM}$ . ( $S$ là diện tích)

Câu 6

5,0 điểm

a)
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Tính giá trị biểu thức sau: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})$
b)
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ . Lấy các điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC, CA, AB$ sao cho $BM = \frac{1}{3}BC, AC = 2AN, AP = x, 0 < x < a$ . Tính $x$ theo $a$ để $AM$ vuông góc với $NP$ .
c)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = c, BC = a, CA = b$ . Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Tính giá trị của $\cos A$

HẾT