Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Trường THPT Diễn Châu 3, Nghệ AnMã đề 101

Thời gian: 140 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Phần không bị gạch (kể cả bờ) trong hình vẽ là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Hình vẽ miền nghiệm bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy

A
$\displaystyle x + y > 1$
B
$\displaystyle x - y < 1$
C
$\displaystyle x + y \leq 1$
D
$\displaystyle x - y \leq 1$

Câu 2

Cho mệnh đề $P$ : “Với mọi số thực $x$ , bình phương của số thực đó lớn hơn chính nó”. Khi đó $P$ là mệnh đề nào sau đây?

A
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}: x^{2} \geq x$
B
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}: x^{2} > x$
C
$\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}: x^{2} > x$
D
$\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}: x^{2} \geq x$

Câu 3

Giá của một số loại túi xách (đơn vị nghìn đồng) được cho như sau:

350 300 650 300 450 500 300 250.

Tìm số trung vị của mẫu số liệu trên.

A
300
B
375
C
325
D
450

Câu 4

Cho góc $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ . Biết rằng $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$ . Tính giá trị của $\cos \alpha$ .

A
$\displaystyle \cos \alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
B
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
D
$\displaystyle \cos \alpha = -\dfrac{2}{3}$

Câu 5

Trong một nhóm có 25 người biết tiếng Anh và 20 người biết tiếng Pháp. Biết rằng có 12 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu người?

A
45
B
32
C
37
D
33

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có $A(3;0), B(7;-8), C(-2;-5)$ . Trực tâm tam giác $ABC$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (-3;2)$
B
$\displaystyle (2;-3)$
C
$\displaystyle (-2;3)$
D
$\displaystyle (3;-2)$

Câu 7

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , đường tròn tâm $I(-1;2)$ và bán kính $R = 2$ có phương trình là

A
$\displaystyle (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$
B
$\displaystyle (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 2$
C
$\displaystyle (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$
D
$\displaystyle (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2$

Câu 8

Đỉnh của parabol $(P): y = x^{2} - 2x + 3$ là

A
$\displaystyle I(1;2)$
B
$\displaystyle I(-2;11)$
C
$\displaystyle I(-1;6)$
D
$\displaystyle I(2;3)$

Câu 9

Kết quả điểm kiểm tra môn Toán của 40 học sinh lớp 10A được trình bày ở bảng sau

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \text{Cộng} \\ \hline \text{Tần số} & 2 & 5 & 7 & 8 & 10 & 6 & 2 & 40 \\ \hline \end{array}

Tính số trung bình cộng của bảng trên (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).

A
6,8
B
7,1
C
8,0
D
6,7

Câu 10

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;4)$ và $B(2;6)$ là

A
$\displaystyle 2x - y - 2 = 0$
B
$\displaystyle x + 2y - 9 = 0$
C
$\displaystyle 2x + y - 6 = 0$
D
$\displaystyle 2x - y + 2 = 0$

Câu 11

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\vec{a}=(1;5)$ , $\vec{b}=(-2;1)$ . Tính $\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$ .

A
$\displaystyle \vec{c}=(-1;17)$
B
$\displaystyle \vec{c}=(7;13)$
C
$\displaystyle \vec{c}=(1;16)$
D
$\displaystyle \vec{c}=(1;17)$

Câu 12

Tập xác định của hàm số $f(x)=\sqrt{-x^2-2x+3}$ là

A
$\displaystyle D=\{-3;1\}$
B
$\displaystyle D=[-1;3]$
C
$\displaystyle D=[-3;1]$
D
$\displaystyle D=\{-1;3\}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên mảnh đất diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu được 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu được 4 triệu đồng. Biết rằng tổng số công không quá 180. Gọi $x, y$ lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu.

a)
Số tiền thu được là $T=3x+4y$
b)
$x+y \le 8$
c)
$2x+3y \ge 18$
d)
Số tiền thu được lớn nhất là 26 triệu đồng

Câu 2

Mẫu số liệu sau đây cho biết điểm của 10 học sinh: $10;6;8;9;9;7;9;8;8;7$ .

a)
Điểm trung bình của 10 học sinh là 8
b)
Trung vị của mẫu số liệu là 8,5
c)
Tứ phân vị thứ ba là 9
d)
Mẫu số liệu trên không có giá trị bất thường

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho elip $(E)$ đi qua điểm $M\left(4;\dfrac{12}{5}\right)$ và có một tiêu điểm $F(-3;0)$ .

a)
Tiêu cự của elip là 6
b)
Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc elip tới hai tiêu điểm là 8
c)
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$
d)
Trên $(E)$ có đúng 2 điểm sao cho tam giác tạo bởi điểm đó và hai tiêu điểm có diện tích bằng 9

Câu 4

Một nhóm học sinh gồm 8 nam và 5 nữ.

a)
Có 715 cách chọn ra 4 bạn đi diễn văn nghệ
b)
Có 350 cách chọn 4 bạn cùng giới tính đi lao động
c)
Có 38 cách chọn 4 bạn sao cho số lượng nam và nữ bằng nhau
d)
Có 645 cách chọn 4 bạn sao cho có ít nhất 1 nữ

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn1,0 điểm

Câu 1

Cho parabol $y=ax^2+bx+3$ đi qua điểm $M(1;-3)$ và có trục đối xứng $x=-1$ . Tính $T=ab$ .

Trả lời:

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$ , nửa chu vi $p$ và diện tích $S$ thỏa mãn $S=\dfrac{\sqrt{15}}{5}p(p-a)$ . Tính $\cos A$ .

Trả lời:

Phần IV. Tự luận12,0 điểm

Câu 1

5,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$ , $B(3;-1)$ , $C(5;4)$ .
1. a)
  Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ .
2. b)
  Tính diện tích tam giác tam giác $ABC$ .
2)
Cho hình bình hành $ABCD$ . Trên cạnh $CD$ lấy các điểm $M$ sao cho $CM = 2MD$ . Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ .

Câu 2

3,0 điểm

Giả sử giá điện sinh hoạt trong mỗi tháng dành cho các hộ gia đình được cho bởi bảng:

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Mức kWh điện tiêu thụ} & \text{Giá bán điện (VNĐ/kWh)} \\ \hline \text{Mức 1: từ 0 đến 100 kWh} & 1600 \\ \hline \text{Mức 2: từ trên 100 đến 300 kWh} & 2000 \\ \hline \text{Mức 3: trên 300 kWh} & 3.000 \\ \hline \end{array}

1)
Trong tháng 1, một hộ gia đình phải trả số tiền điện là 420 000 đồng. Hỏi số kWh điện tiêu thụ của hộ gia đình trong tháng 1 là bao nhiêu?
2)
Tháng 2, một hộ gia đình có mức tiêu thụ điện hơn 100 kWh. Tháng 3 có mức tiêu thụ điện nhiều hơn tháng 2 là 210 kWh và phải trả số tiền bằng 2,5 lần so với tháng 2. Tính tổng số kWh mà hộ gia đình đó đã tiêu thụ điện trong hai tháng 2 và tháng 3.

Câu 3

3,0 điểm

Cho tập hợp $A = \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ .

1)
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 và có 4 chữ số khác nhau được lấy từ $A$ .
2)
Từ tập hợp $A$ , lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và không có 2 chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau.

Câu 4

1,0 điểm

Giải phương trình $3x^2 + 5x + 6 = (3x+1)\sqrt{x^2 + 2x + 8}$ .

HẾT