Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2025–2026 — Cụm trường THPT, Sở GD&ĐT Bắc NinhMã đề 1101

Cho $A, B, C$ là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

Cho điểm $M(3;1)$, đường thẳng $(d)$ đi qua $M(3;1)$ và cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A(a;0), B(0;b)$ với $a, b > 0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ sao cho $\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất là

Cho hàm số $y = ax^{2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó dấu của các hệ số $a, b, c$ là

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a, CA = b, AB = c$ và $R, r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thoả mãn $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} + \frac{2r}{R} = 4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Ông Cường dùng $100\text{ m}$ lưới B40 để rào một mảnh vườn hình chữ nhật với mục đích để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được là

Cho $\Delta ABC$, điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cổng Gateway Arch ở thành phố Missouri (Mỹ) có hình dạng là Parabol (như hình vẽ), người ta đo được khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB = 162\text{ m}$. Từ một điểm $M$ trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là $MH = 43\text{ m}$ và khoảng cách từ $H$ tới điểm chân cổng gần nhất là $HA = 10\text{ m}$. Chiều cao của cổng Gateway Arch được làm tròn đến hàng phần chục là

Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y = \frac{2x+1}{x^2 - 2x - 3 - m}$ xác định trên $\mathbb{R}$?

Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số $2$ đứng liền giữa hai chữ số $1$ và $3$?

Cho bất phương trình $f(x) = mx^2 + (2m - 1)x + m + 1 < 0$ ($m$ là tham số). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình có nghiệm. $S$ chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng cách $AB = 4\text{ km}$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng là $7\text{ km}$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $3km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $5km/h$ như hình vẽ, biết thời gian người đó đi từ $A$ đến $C$ là 148 phút.

Khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$ bằng

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1$, $AC = x$ $(x > 0)$ và $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB} = -2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

Bác Hà có 8 sào đất trồng hoa màu. Biết rằng 1 sào trồng đậu cần 20 công và lãi được 3 triệu đồng, 1 sào trồng cà cần 30 công và lãi được 4 triệu đồng. Bác Hà trồng được $x$ sào đậu và $y$ sào cà thì thu được tiền lãi cao nhất. Giá trị biểu thức $F = 3x + 4y$ bằng bao nhiêu biết rằng tổng số công không quá 180 ?

Biết phương trình $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x - 1$ có một nghiệm $x = \frac{a + \sqrt{b}}{2}$ với $a, b \in \mathbb{R}$. Tổng $S = a + b$ bằng

Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Cho hai tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} | 1 \le |x| \le 2\}; B = (-\infty; m - 2] \cup [m; +\infty)$. Tất cả các giá trị của $m$ để $A \subset B$ là

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;3)$ và hai đường trung tuyến $BM: x + 7y - 10 = 0$ và $CN: x - 2y + 2 = 0$. Phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ là

Đường thẳng $(\Delta): 3x - 2y - 7 = 0$ cắt đường thẳng nào sau đây?

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A, B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^{\circ}$ và $38^{\circ}$.

Chiều cao của ngọn núi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất bằng

Tam thức bậc hai $f(x) = x^{2} - ax + b$ có bảng xét dấu như hình vẽ

Khi đó:

Lớp 10A1 có 10 bạn học sinh được chọn đi thi hát do Đoàn trường tổ chức, trong đó có hai bạn Bình và An. Nhưng khi thi, do ban tổ chức chỉ bố trí được 8 chiếc micro nên chỉ chọn ra một đội gồm 8 bạn xếp thành một hàng ngang.

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: x + 2y + 8 = 0$ và các điểm $A(1;2), B(-2;1), C(-5;3)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho $P = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $\overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{MB}; \overrightarrow{NA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP = \dfrac{4a}{15}$.

Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC = 2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$. Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3.000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5.000USD$. Tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23.000USD$. Giả sử $AB = x(km)$ với $0 < x < 5$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 7$, $AC = 8$, $BC = \sqrt{57}$. Khi đó:

Một đơn vị pháo binh phòng không ở chốt chặn $A$ phát hiện máy bay địch ở vị trí $B$ đang bay thẳng về hướng mình theo phương ngang với vận tốc $180$ m/s và cách mặt đất $3$ km. Pháo thủ quyết định đánh hạ mục tiêu với một phát bắn. Biết rằng tại thời điểm bị phát hiện máy bay ở tọa độ cách chốt $A$ $1$ km và vận tốc đạn bay là $720$ m/s.

Với cách đánh chặn mục tiêu nhanh nhất thì thời gian trúng mục tiêu tính từ khi nổ pháo là bao nhiêu giây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

a) Hình vẽ cầu dây văng

b) Hình chiếu đứng của cầu dây văng

Dựa vào bản vẽ ở hình trên, biết dây dài nhất là $5$ m, dây ngắn nhất là $0,8$ m, khoảng cách giữa các dây bằng nhau, nhịp cầu dài $30$ m. Cần tính thêm $5\%$ chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định. Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ (như hình vẽ) với $AB = 8,2m; BC = 14,5m; CD = 9,7m; AD = 16,4m$. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm $M, N$ nằm trên hai cạnh $AB, AD$ sao cho $AM = 1m; AN = 1m$, sau đó bác Nam dùng thước dây đo được $MN = 1,6m$. Diện tích mảnh đất bằng bao nhiêu $m^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1: x - 2y - 2 = 0, d_2: x - y - 1 = 0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB = 2BC$. Giả sử tam giác $ABC$ có tọa độ đỉnh $C(a;b)$, khi đó $2a + b$ bằng bao nhiêu?

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm loại $I$ bán lãi $500$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $II$ bán lãi $400$ nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại $I$ thì An phải làm việc trong $3$ giờ, Bình phải làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất được một sản phẩm loại $II$ thì An phải làm việc trong $2$ giờ, Bình phải làm việc trong $6$ giờ. Một người không thể tham gia làm hai loại sản phẩm tại cùng một thời điểm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá $180$ giờ và Bình không thể làm việc quá $220$ giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng đó là bao nhiêu triệu đồng?

Người ta dùng $20$ cuốn sách bao gồm $8$ cuốn sách Toán, $7$ cuốn sách Lý và $5$ cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho $10$ học sinh, mỗi học sinh nhận được $2$ cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Có bao nhiêu cách phát thưởng cho học sinh?