Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm Hiệp Hòa, Sở GD&ĐT Bắc GiangMã đề 000

Thời gian: 120 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là

A
19
B
18
C
31
D
49

Câu 2

Cho $A \subset B$ và $B \subset C$ . Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A
$\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C) = B$
B
$\displaystyle A \cup (B \setminus C) = A$
C
$\displaystyle A \setminus (B \cap C) = \varnothing$
D
$\displaystyle (A \cap C) \cup B = C$

Câu 3

Cho hai tập hợp $A = [-2;3)$ và $B = [m; m+5)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$ .

A
$\displaystyle -7 < m \leq -2$
B
$\displaystyle -2 < m \leq 3$
C
$\displaystyle -2 \leq m < 3$
D
$\displaystyle -7 < m < 3$

Câu 4

Cho biết $\cot \alpha = 5$ . Tính giá trị của $E = 2\cos^2 \alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1$ ?

A
$\displaystyle \frac{10}{26}$
B
$\displaystyle \frac{100}{26}$
C
$\displaystyle \frac{50}{26}$
D
$\displaystyle \frac{101}{26}$

Câu 5

Cho $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ và $0 < x < \pi$ , ta có $\tan x = -\frac{p + \sqrt{q}}{3}$ với cặp số nguyên $(p; q)$ là:

A
$\displaystyle (-4;7)$
B
$\displaystyle (4;7)$
C
$\displaystyle (8;14)$
D
$\displaystyle (8;7)$

Câu 6

Tam giác ABC có $AB = 5$ , $AC = 8$ và $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$ . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

A
$\displaystyle r = 1$
B
$\displaystyle r = 2$
C
$\displaystyle r = \sqrt{3}$
D
$\displaystyle r = 2\sqrt{3}$

Câu 7

Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( $AB = 4.3 cm$ ; $BC = 3.7 cm$ ; $CA = 7.5 cm$ ). Bán kính của chiếc đĩa này bằng.

Mảnh đĩa cổ hình tròn bị vỡ với tam giác ABC có AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, CA = 7,5cm

A
$\displaystyle 5,73 cm$
B
$\displaystyle 6,01 cm$
C
$\displaystyle 5,85 cm$
D
$\displaystyle 4,57 cm$

Câu 8

Với giá trị nào của tham số $m$ thì nghiệm của hệ $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

là nghiệm của bất phương trình $mx + (m+1)y > 5$ ?

A
$\displaystyle m < 1$
B
$\displaystyle m = 1$
C
$\displaystyle m > 1$
D
$\displaystyle m \neq 1$

Câu 9

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y \ge -2 \\ x \ge 2 \\ 2x + y \le 8 \end{cases}$

là một miền đa giác. Tính diện tích $S$ của đa giác đó.

A
$\displaystyle S = 25$
B
$\displaystyle S = 4$
C
$\displaystyle S = 9$
D
$\displaystyle S = 18$

Câu 10

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3cm$ , $BC = 5cm$ . Khi đó độ dài $\left|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\right|$ là:

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 2\sqrt{13}$
D
$\displaystyle \sqrt{13}$

Câu 11

Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho $M(2;0), N(2;2), P(-1;3)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$ của $\Delta ABC$ . Tọa độ điểm $B$ là:

A
$\displaystyle B(1;1)$
B
$\displaystyle B(-1;-1)$
C
$\displaystyle B(-1;1)$
D
$\displaystyle B(1;-1)$

Câu 12

Cho $\Delta ABC$ có $G$ là trọng tâm. Xác định điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$

A
Điểm $M$ là trung điểm cạnh $AC$
B
Điểm $M$ là trung điểm cạnh $GC$
C
Điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $4$
D
Điểm $M$ chia đoạn $GC$ thỏa mãn $\overrightarrow{GC} = 4\overrightarrow{GM}$

Câu 13

Cho tam giác $ABC$ có $A = 90^\circ$ , $BC = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ , $AC = a (a > 0)$ . Khi đó $\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BC})$ bằng:

A
$\displaystyle \dfrac{2a^2}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^2}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{3}a^2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{4a^2}{3}$

Câu 14

Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức $2\overrightarrow{MA} - (1+k)\overrightarrow{MB} - 3k\overrightarrow{MC} = \vec{0}$ , trong đó $k$ là giá trị thay đổi trên $\mathbb{R}$ .

A
Tập hợp điểm $M$ là một đoạn thẳng
B
Tập hợp điểm $M$ là một đường tròn
C
Tập hợp điểm $M$ là một đường thẳng
D
Tập hợp điểm $M$ là một nửa đường tròn

Câu 15

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $4MA^2 + MB^2 + MC^2 = \dfrac{5a^2}{2}$ nằm trên một đường tròn $(C)$ có bán kính $R$ . Tính $R$ .

A
$\displaystyle R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$
B
$\displaystyle R = \dfrac{a}{4}$
C
$\displaystyle R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D
$\displaystyle R = \dfrac{a}{\sqrt{6}}$

Câu 16

Cho elip $(E): 16x^2 + 25y^2 = 100$ và điểm $M$ thuộc $(E)$ có hoành độ bằng $2$ . Tổng khoảng cách từ $M$ đến $2$ tiêu điểm của $(E)$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 2\sqrt{2}$
C
$\displaystyle 4\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \sqrt{3}$

Câu 17

Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ . Tìm tọa độ điểm $M \in (E)$ sao cho $M$ nhìn $F_1F_2$ dưới một góc vuông (trong đó $F_1, F_2$ là hai tiêu điểm của $(E)$ ):

A
$\displaystyle (-5;0)$
B
$\displaystyle \left(4; -\dfrac{9}{5}\right)$
C
$\displaystyle (0;4)$
D
$\displaystyle \left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}; \dfrac{9}{4}\right)$

Câu 18

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ thỏa mãn $f\left(\dfrac{3x-2}{x-1}\right) = x + 2, \forall x \neq 1$ . Tính $f(2) + f(4)$ .

A
$\displaystyle f(2) + f(4) = 6$
B
$\displaystyle f(2) + f(4) = 2$
C
$\displaystyle f(2) + f(4) = -6$
D
$\displaystyle f(2) + f(4) = -2$

Câu 19

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = x^2 - 2(m+1)x - 3$ đồng biến trên khoảng $(4;2018)$ ?

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 20

Cho parabol $(P)$ có phương trình $y = f(x)$ thỏa mãn $f(x-1) = x^2 - 5x + 5, \forall x \in \mathbb{R}$ . Số giao điểm của $(P)$ và trục hoành là:

Câu 21

Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = 4\sqrt{x^2 - 2x + 3} + 2x - x^2$ . Tính tích các nghiệm của phương trình $f(x) = M$ .

A
2
B
0
C
$\displaystyle -1$
D
1

Câu 22

Cho bất phương trình $f(x) = 3x^2 + 2(2m-1)x + m + 4 \le 0$ , trong đó $m$ là tham số, $m \in \mathbb{Z}$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của $m$ để bất phương trình vô nghiệm?

A
Vô số
B
2
C
3
D
4

Câu 23

Gọi $m_0$ là giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số $m$ để phương trình $-2x^2 + 2(m+1)x + m^2 - 5m + 6 = 0$ có hai nghiệm trái dấu. Khi đó số ước nguyên dương của $m_0$ là:

Câu 24

Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ , $CN$ vuông góc với nhau và có $BC = 3$ , góc $\widehat{BAC} = 30^0$ . Diện tích tam giác $ABC$ là:

A
$\displaystyle S_{\Delta ABC} = 3\sqrt{3}$
B
$\displaystyle S_{\Delta ABC} = 6\sqrt{3}$
C
$\displaystyle S_{\Delta ABC} = 9\sqrt{3}$
D
$\displaystyle S_{\Delta ABC} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Câu 25

Tam giác nhọn $ABC$ có $AC = b$ , $BC = a$ , $BB'$ là đường cao kẻ từ $B$ và $\widehat{CBB'} = \alpha$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ được tính theo $a$ , $b$ và $\alpha$ là:

A
$\displaystyle R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}$
B
$\displaystyle R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}$
C
$\displaystyle R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\sin\alpha}}{2\cos\alpha}$
D
$\displaystyle R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\sin\alpha}}{2\cos\alpha}$

Câu 26

Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa $24\text{g}$ hương liệu, $9$ lít nước và $210\text{g}$ đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế $1$ lít nước cam cần $30\text{g}$ đường, $1$ lít nước và $1\text{g}$ hương liệu; pha chế $1$ lít nước táo cần $10\text{g}$ đường, $1$ lít nước và $4\text{g}$ hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được $60$ điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được $80$ điểm thưởng. Đội A pha chế được $a$ lít nước cam và $b$ lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số $a - b$ là

A
1
B
3
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle -6$

Câu 27

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $\Delta ABC$ có $A(-1;2)$ . Đường trung tuyến $BM$ và phân giác trong $CI$ có phương trình lần lượt là $d_1: x - y + 2 = 0$ và $d_2: 2x + y - 3 = 0$ . Tìm tọa độ điểm $B(a;-b)$ . Tính $P = a + b$ .

A
$\displaystyle \dfrac{31}{6}$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle -\dfrac{31}{6}$
D
2

Câu 28

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $|x^2 - 6|x| + 5| = m$ có $8$ nghiệm phân biệt?

Câu 29

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d): y = mx$ cắt parabol $(P): y = x^2 - x + 1$ tại hai điểm phân biệt $A$ , $B$ mà trung điểm $I$ của $AB$ thuộc đường thẳng $(\Delta): y = 2x - 1$ ?

A
0
B
1
C
2
D
vô số

Câu 30

Giải phương trình: $4x^2 + 12x\sqrt{x+1} = 27(x+1)$ trên $\mathbb{R}$ ta được nghiệm $x = a$ ; $x = \dfrac{b - c\sqrt{d}}{e}$ trong đó $a$ ; $b$ ; $c$ ; $d$ ; $e$ là các số tự nhiên và $\dfrac{b}{e}$ tối giản. Khi đó tính giá trị của biểu thức $F = a + b - c + d - e$ .

A
182
B
164
C
198
D
3

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai2,0 điểm

Câu 1

Cho phương trình $(x-2)\sqrt{2x^{2}+4}=x^{2}-4$ .

a)
Phương trình xác định trên $\mathbb{R}$
b)
Phương trình có 3 nghiệm
c)
Tổng các nghiệm của phương trình bằng 5
d)
Các nghiệm của phương trình là các số chẵn

Câu 2

Cho hai điểm $A(1;2), B(3;4)$ và đường thẳng $\Delta: 3x+y-3=0$ .

a)
Khoảng cách từ $B$ tới $\Delta$ bằng 5 lần khoảng cách từ $A$ tới $\Delta$
b)
Đường trung trực của $AB$ có phương trình là $x+y-5=0$
c)
Điểm $I$ là tâm của đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(1;2), B(3;4)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 3x+y-3=0$ , ta có $I(4;1)$ hoặc $I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}\right)$
d)
Có hai đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(1;2), B(3;4)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 3x+y-3=0$ . Tổng đường kính của các đường tròn $(C)$ bằng $2\sqrt{10}$ .

Phần 3. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

a)
Giải phương trình $2(x+1)\sqrt{2(x^{2}+1)}=x^{2}+6x+1$ .
b)
Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}+2\sqrt{-x^{2}+16}-m+2=0$ có nghiệm?

Câu 2

2,25 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ có $AB=4$ , $AC=8$ và $\widehat{A}=60^{0}$ . Lấy điểm $E$ trên tia $AC$ và đặt $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$ . Tìm $k$ để $BE$ vuông góc với trung tuyến $AF$ của tam giác $ABC$ .
b)
Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B(2;-1)$ , đường cao $AA': 3x-4y+27=0$ và đường phân giác trong của góc $C$ là $CD: x+2y-5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ .

Câu 3

0,75 điểm

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm $A(0;100)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc $5$ m/s. Con còn lại bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ $B(60;80)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc $10$ m/s.

Sơ đồ quỹ đạo bay của hai con chuồn chuồn trên hệ trục tọa độ Oxy với các điểm O, A(0;100), B(60;80), A' và B'

Hỏi trong quá trình bay thì khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu? (Coi chuyển động của hai con chuồn chuồn là chuyển động thẳng đều)

HẾT