Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Câu 1

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1}{a + \sqrt{ab}} + \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\left(\dfrac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} + \dfrac{\sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}}\right)$ , $(a, b > 0; a \neq b)$ .
2)
Phương trình $x^{2} - 3x - 5 = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}, x_{2}$ . Đặt $g(x) = x^{2} - 4$ . Tính giá trị của biểu thức $T = g(x_{1}) \cdot g(x_{2})$ .

4,0 điểm

1)
Giải phương trình: $\sqrt{3x - 5} + \sqrt{7 - 3x} = 9x^{2} - 36x + 38$ .
2)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x(x + y) + \sqrt{x + y} = \sqrt{2y}\left(\sqrt{2y^{3}} + 1\right) \\ x^{2}y - 5x^{2} + 7(x + y) - 4 = 6\sqrt[3]{xy - x + 1} \end{cases}$

3,0 điểm

1)
Tìm các số tự nhiên $x, y$ thỏa mãn: $x^{2} = 9y^{2} + 6y + 16$ .
2)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a - b$ là số nguyên tố và $3c^{2} = ab + bc + ca$ . Chứng minh rằng $8c + 1$ là số chính phương.

6,0 điểm

1)
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ kẻ các tiếp tuyến $ME, MF$ với đường tròn $(O')$ , trong đó $E, F$ thuộc đường tròn $(O')$ và điểm $F$ nằm trong đường tròn $(O)$ . Hai đường thẳng $AE$ và $AF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $P$ và $Q$ ( $P, Q$ khác $A$ ). Tia $EF$ cắt $PQ$ tại $K$ .
1. a)
  Chứng minh $BKPE$ là tứ giác nội tiếp.
2. b)
  Gọi $I$ và $J$ lần lượt là giao điểm của $AB$ với $OO'$ và $EF$ . Chứng minh $\widehat{IJE} = \widehat{IFM}$ .
3. c)
  Chứng minh $PQ = 2\sqrt{OA^{2} - OK^{2}}$ .
2)
Cho nửa đường tròn đường kính $BC = 2R$ . Gọi $M$ là điểm di động trên nửa đường tròn $(M \neq B; M \neq C)$ . Kẻ $MH$ vuông góc với $BC$ , $(H \in BC)$ . Gọi $O_{1}, O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $MCH$ và $MBH$ . Xác định vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $O_{1}HO_{2}$ lớn nhất.

3,0 điểm

1)
Cho $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M = \sqrt{\frac{a}{a + c}} + \sqrt{\frac{b}{b + c}} - \frac{9\sqrt{c^{2} + 1}}{8c}.$
2)
Biết rằng mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà có ba đỉnh và trọng tâm của nó cùng màu.