Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2024 — Sở GD&ĐT An Giang

Cho bảng các tích của $m$ số lẻ và $n$ số chẵn. Tính tổng của các tích trong bảng sau

Cho cấp số cộng có 20 số hạng $a_1; a_2; \dots; a_{20}$. Đặt $A = a_1 + a_3 + \cdots + a_{19}$ và $B = a_2 + a_4 + \cdots + a_{20}$. Biết $B - A = 110; \sqrt{B} - \sqrt{A} = \sqrt{10}$. Tìm số hạng đầu tiên và số hạng thứ 20 của cấp số.

Một hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có ba kích thước là $AB = 1cm; AD = 2 cm; AA' = 2cm$ và đường chéo $DB'$. Tìm các đường đi ngắn nhất để một con chuột bò trên các cạnh hoặc đường chéo, xuất phát từ đỉnh $A$ đi qua tất cả các đỉnh đúng một lần và kết thúc tại đỉnh $C'$.

Cho tứ diện $OABC$ có $OA; OB; OC$ đôi một vuông góc nhau, $OA = a; OB = b; OC = c$. Gọi $M, N$ là trọng tâm của các tam giác $ABC, OBC$. Tính độ dài đoạn $OM, AN$ theo $a, b, c$.

Người ta dùng bốn màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng để sơn 15 thanh chắn lắp song song và cách đều nhau của một ngôi trường mẫu giáo. Hỏi có bao nhiêu cách sơn sao cho hai thanh kề nhau thì khác màu và hai thanh đối xứng nhau qua thanh chính giữa thì cùng màu?

Một con cào cào nhảy ngẫu nhiên trên bốn chiếc lá. Trong mỗi lượt, xác suất để cào cào nhảy tới mỗi chiếc lá trong ba chiếc lá còn lại đều bằng $\frac{1}{3}$. Tính xác suất để con cào cào qua bốn lần nhảy quay trở lại vị trí ban đầu?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ và điểm $M(2; 1)$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M$ cắt $(E)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường thẳng $(\Delta): y = 2x$.

Tính $3a + 5b$ với $a, b$ là hai số dương thỏa mãn:

Cho đa thức $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ $(n \geq 2)$. Biết $P(1) = 2; P(2) = 3; \dots; P(n-1) = n; P(n) = 1$. Tính $a_0$.