Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Câu 1

5,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sin 5x - 2\sin^{2}x = -1$ .
b)
Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1} = 3$ và công bội $q \in [-2;1]$ . Tính giá trị của biểu thức $S = u_{11} - 87u_{3} + 2q$ khi $u_{1} - u_{2} + \dfrac{1}{3}u_{3}$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tính $\lim_{x \to -\infty} \left(2x - \sqrt[3]{8x^{3} + x^{2}}\right)$ .
b)
Giải phương trình $2024^{x^{2}-4x+3} + 2024^{x^{2}+7x+6} = 2024^{2x^{2}+3x+9} + 1$ .

Câu 3

2,0 điểm

Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ . Gọi $B$ là tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $A$ . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp $B$ . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng $10$ .

Câu 4

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(1;2)$ , đường trung tuyến $BM$ có phương trình $2x + y + 1 = 0$ và đường phân giác trong $CD$ có phương trình $x + y - 1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $BC$ .

Câu 5

4,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ . Điểm $M$ di động trên cạnh $SC$ ( $M \neq S$ và $M \neq C$ ), $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$ .

a)
Tìm các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với các mặt phẳng $(ABCD)$ , $(SBD)$ .
b)
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với $SB$ và $SD$ . Chứng minh rằng $\dfrac{SB}{SH} + \dfrac{SD}{SK} - \dfrac{SC}{SM}$ có giá trị không đổi.

Câu 6

1,0 điểm

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f\left(xf(x) + f(y)\right) = f\left(f\left(x^{2}\right)\right) + y \text{ với mọi số thực } x, y.$

Câu 7

2,0 điểm

Một câu lạc bộ có $41$ thành viên, mỗi người quen với ít nhất $21$ người khác (trong đó quan hệ quen biết là hai chiều).

a)
Chứng minh rằng tồn tại $3$ thành viên đôi một quen nhau.
b)
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thành viên có số người quen là số chẵn.
c)
Hỏi có thể xảy ra trường hợp $3$ thành viên bất kỳ trong câu lạc bộ đều có không quá $5$ người quen chung hay không?