Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Nam Định

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là $HK = 25m$. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí $C$. Gọi $A, B$ lần lượt là vị trí thấp nhất và cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số đo góc $\widehat{ACB}$ (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất) biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là $CK = 37m$, $AH = 4m$, $BH = 26m$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Phòng chăm sóc khách hàng của công ty A làm việc từ 8h00 sáng đến 20h00 mỗi ngày. Nhân viên trực tổng đài làm việc theo 2 ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 8h00 đến 16h00 và ca II từ 12h00 đến 20h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới đây):

Để chăm sóc khách hàng tốt nhất thì cần tối thiểu 2 nhân viên trong khoảng từ 12h00 – 20h00, tối thiểu 10 nhân viên trong giờ cao điểm từ 12h00 – 16h00 và không quá 9 nhân viên trong khoảng từ 8h00 – 16h00. Do lượng khách hàng trong khoảng 8h00 – 16h00 thường đông hơn nên phòng chăm sóc khách hàng cần số nhân viên ca I ít nhất phải gấp 1,5 lần số nhân viên của ca II. Em hãy giúp công ty A chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Giải phương trình lượng giác: $\cos 2x + 2\cos x + 2\cos\left(\dfrac{2023\pi}{2} - x\right) = 0$.

Đường Vôn Kốc là một hình có tính chất: toàn bộ hình “đồng dạng” với từng bộ phận của nó. Nó được xây dựng bằng phương pháp lặp như sau: Từ đoạn thẳng $AB$ ban đầu ta chia đoạn thẳng đó thành ba phần bằng nhau $AC = CD = DB$, dựng tam giác đều $CED$ rồi bỏ đi khoảng $CD$ ta được đường gấp khúc $ACEDB$ kí hiệu là $K_1$. Lặp lại quy tắc đó cho các đoạn $AC, CE, ED, DB$ ta được đường gấp khúc $K_2$ (hình vẽ). Tiếp tục lặp lại quy tắc đó cho từng đoạn của $K_2$ ta được đường gấp khúc $K_3\ldots$ Lặp lại mãi quá trình đó ta nhận được dãy các đường $K_1, K_2, K_3, ..., K_n, ...$. Gọi $u_n$ là độ dài đường gấp khúc $K_n$. Giả sử đoạn thẳng $AB$ có độ dài là 1 mét.

Đường Vôn Kốc

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành có $SA = 2a, BC = a\sqrt{2}$. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $SE = 3EB$, $F$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $AF = \frac{1}{3}FD$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $SA \perp (ABC)$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $S$ qua $A$, $K$ là trực tâm của tam giác $SCD$. Trong mặt phẳng $(ABC)$, kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $AC$ tại $K$ và cắt $AB$ tại $H$.

Một hộp có 25 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Hai bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 6, Bình sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 5. Giả sử An chơi trước, tính xác suất để Bình thắng?

Cho $x, y$ là hai số thực không âm và không đồng thời bằng không thỏa mãn:

Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \frac{4x + 5y - 10}{x + y}$.