Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2026 — Trường THCS Đại Áng, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

1,0 điểm

Thống kê điểm kiểm tra khảo sát môn Toán của 40 học sinh lớp 9A được cho trong bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Số học sinh} & 6 & 14 & 16 & 4 \\ \hline \end{array}

a)
Tìm tần số của điểm 7.
b)
Tính tần số tương đối của điểm 10.

Câu II

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B = \dfrac{1}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}} + \dfrac{2\sqrt{x}+12}{x-9}$ với $x \ge 0; x \ne 9$ .

a)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
b)
Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$ .
c)
Cho $P = A.B$ . Tìm các giá trị của $x$ để $|P| - P = 0$ .

Câu III

2,25 điểm

1)
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 24 phút. Biết độ dài quãng đường AB là 80 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
2)
Cho phương trình $x^2 - x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ và $x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $A = 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2$ .

Câu IV

4,25 điểm

1)
Một ly nước hình trụ có chiều cao 15cm, bán kính đáy 2,5cm, lượng nước tinh khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn phẳng như hình vẽ dưới đây. (Lấy $\pi \approx 3,14$ , các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
1. a)
  Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly?
2. b)
  Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu $\text{cm}^3$ (giả sử độ dày của ly là không đáng kể).
2)
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O) (AB < AC)$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$ .
1. a)
  Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.
2. b)
  Kẻ đường kính $AT$ của đường tròn $(O)$ . Chứng minh rằng: $AB.AC = AD.AT$ và $\widehat{DEF} = \widehat{COT}$
3. c)
  Kẻ $CI$ vuông góc với $AT$ tại $I$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh ba điểm $F, I, M$ thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Trong hình bên, độ dài quãng đường $AB$ là 5 km, độ dài quãng đường $BC$ là 26 km, $\widehat{ABC} = 90^{\circ}$ . Một người có kế hoạch đi xe đạp, người đó đi thẳng từ $A$ đến vị trí $M$ trên đoạn thẳng $BC$ với tốc độ 12 km/h, sau đó đi thẳng từ $M$ đến $C$ với tốc độ 13 km/h. Người đó cần chọn vị trí điểm $M$ cách điểm $B$ một khoảng bằng bao nhiêu km để tổng thời gian đi từ $A$ đến $M$ và từ $M$ đến $C$ là ít nhất?

Hình vẽ minh họa tam giác vuông tại B với các điểm A, B, M, C

HẾT