Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2026 — Trường THCS Nguyễn Du, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \dfrac{x + 3}{x - 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

a)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$ .
b)
Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ .
c)
Đặt $P = A + B$ . Tìm $x$ để $P \geq 0$ .

Câu II

1,5 điểm

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe máy và một ô tô cùng đi từ địa điểm A đến địa điểm B, quãng đường AB dài 60 km. Vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h. Biết rằng ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút nhưng đến B cùng lúc với xe máy. Tính vận tốc của xe máy.

Câu III

2,0 điểm

1)
Sau khi điều tra về chiều cao (đơn vị: cm) của toàn bộ các học sinh lớp 9A, người ta có được biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
1. a)
  Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ trên. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
2. b)
  Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[160;170)$ .
2)
Một hộp đựng ba viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). Lấy ngẫu nhiên đồng thời trong hộp ra hai viên bi. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.
3)
Biết rằng phương trình $x^2 + 4x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1; x_2$ . Tìm tất cả giá trị của $m$ thỏa mãn
$x_2^2 - mx_2 = x_1(m - x_1)$

Câu IV

4,0 điểm

1)
Một cốc nước thủy tinh hình trụ có đường kính đáy $6$ cm, chiều cao $15$ cm, đang đựng một lượng nước. Lấy $\pi \approx 3,14$ .
1. a)
  Tính thể tích của cốc thủy tinh.
2. b)
  Người ta thả một viên bi bằng thủy tinh có dạng hình cầu vào cốc nước, viên bi chìm xuống đáy cốc làm cho cột nước dâng cao thêm $2$ cm và nước không tràn ra ngoài cốc. Tính bán kính của viên bi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
2)
Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Lấy điểm $C$ thuộc $(O)$ sao cho $AC > BC$ . Kẻ đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$ .
1. a)
  Chứng minh tứ giác $ADCO$ nội tiếp.
2. b)
  Kẻ đường kính $CF$ của $(O)$ . Gọi $E$ là giao của $DF$ với $(O)$ ( $E$ khác $F$ ). Gọi $H$ là giao điểm của $DO$ và $AC$ . Chứng minh $DE.DF = DC^{2}$ và $\widehat{HEF} = \widehat{DOC}$ .
3. c)
  Gọi $M$ là trung điểm của $DH$ ; gọi $K$ là giao của $CM$ và $FH$ . Chứng minh $K$ thuộc $(O)$ .

Câu V

0,5 điểm

Bác Minh đặt mua một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy $ABCD$ là hình vuông như hình dưới đây.

Hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ với đáy trên ABCD và đáy dưới MNPQ

Để món quà trở nên đặc biệt, bác Minh muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (đáy $MNPQ$ ) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh $MN$ của mặt đáy và chiều cao $AM$ của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là $4dm^{3}$ .

HẾT