Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Trường THCS Vĩnh An-Tân Liên, Hải Phòng

Thời gian: 120 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

1,5 điểm

Cho các biểu thức:

$A = \dfrac{4}{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{\left(2 - \sqrt{5}\right)^2}$

$B = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{1 - x}\right) : \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} \text{ (với } x \ge 0, x \ne 1\text{)}$

a)
Rút gọn các biểu thức A, B
b)
Tìm các giá trị của x để giá trị biểu thức B không lớn hơn giá trị biểu thức A.

Câu 2

1,5 điểm

2.1)
Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} 2\sqrt{x-1} + \dfrac{1}{y+3} = 1 \\ 4\sqrt{x-1} - \dfrac{3}{y+3} = 7 \end{cases}$
2.2)
Cửa hàng A thực hiện chương trình giảm giá cho khách hàng mua sỉ vở học sinh loại thùng 100 quyển/thùng như sau: Nếu mua 1 thùng thì giảm $5\%$ so với giá niêm yết. Nếu mua 2 thùng trở lên thì thùng thứ nhất giảm $5\%$ còn từ thùng thứ hai được giảm $10\%$ so với giá niêm yết. Biết giá niêm yết của mỗi thùng vở nói trên là 450.000 đồng.
1. a)
  Gọi $y$ là số tiền mẹ bạn An phải trả khi mua $x$ thùng vở $(x > 1)$ . Lập công thức biểu diễn $y$ theo $x$ .
2. b)
  Mẹ bạn An mua 4 thùng vở loại 100 quyển/thùng ở cửa hàng A thì sẽ phải trả bao nhiêu tiền?

Câu 3

2,5 điểm

1)
Cho Parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = (2m - 1)x - m + 2$ ( $m$ là tham số)
1. a)
  Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và $(P)$ khi $m = 2$
2. b)
  Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng (d) luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ , $B(x_2; y_2)$ thỏa $x_1y_1 + x_2y_2 = 0$ .
2)
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô bị chặn bởi tàu hỏa trong thời gian 10 phút. Để đến B đúng thời điểm đã định, ô tô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.

Câu 4

0,75 điểm

Một đồ vật được thiết kế bởi một nửa khối cầu và một khối nón úp vào nhau sao cho đáy của khối nón và thiết diện của nửa mặt cầu chồng khít lên nhau như hình vẽ bên.

hình vẽ khối đồ vật gồm khối nón đỉnh S có chiều cao $h=2R$ và đáy tâm $O$ bán kính $R$ úp trên nửa khối cầu

Biết khối nón có đường cao gấp đôi bán kính đáy, thể tích của toàn bộ khối đồ vật bằng $36\pi \text{ cm}^3$ . Tính bán kính khối cầu?

Câu 5

3,0 điểm

Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ( $B, C$ là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AO$ chứa điểm $B$ vẽ cát tuyến $AMN$ với đường tròn $(O)$ ( $AM < AN$ , $MN$ không đi qua $O$ ). Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ .

a)
Chứng minh: Tứ giác $AIOC$ nội tiếp.
b)
Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ . Chứng minh: $AH.AO = AM.AN$ và tứ giác $MNOH$ là tứ giác nội tiếp.
c)
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BN$ , cắt $AB$ và $BC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$ . Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $EF$ .

Câu 6

0,75 điểm

Cho $x, y, z$ dương thỏa mãn: $xy + yz + xz \geq 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = \dfrac{x^3}{\sqrt{y^2 + 3}} + \dfrac{y^3}{\sqrt{z^2 + 3}} + \dfrac{z^3}{\sqrt{x^2 + 3}}

HẾT