Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Trường THCS Trưng Vương, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{x-4}{\sqrt{x}} \text{ và } B = \frac{1}{\sqrt{x}-2} + \frac{2}{\sqrt{x}+2} - \frac{2\sqrt{x}}{x-4} \text{ với } x > 0, x \ne 4.$

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 1$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Tìm các số nguyên $x$ để biểu thức $P = A.B$ đạt giá trị nguyên.

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong $1200$ sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm nhiều hơn $100$ sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế $2$ ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong $1200$ sản phẩm đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).
2)
Một bình đựng nước có dạng hình trụ với chiều cao $280 mm$ và bán kính đáy $41 mm$ . Hỏi bình đó đựng được tối đa bao nhiêu lít nước (bỏ qua độ dày của thành và nắp bình, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, lấy $\pi \approx 3,14$ ).
Bình đựng nước hình trụ

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải phương trình: $x + 5\sqrt{x} - 6 = 0$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^{2}$ và đường thẳng $(d): y = (2m-1)x + 2$ .
1. a)
  Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $\frac{|x_{1}|}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{|x_{1}|} = 2$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ . Kẻ tiếp tuyến $MA$ ( $A$ là tiếp điểm) và cát tuyến $MBC$ với đường tròn ( $MB < MC$ ) sao cho tia $MB$ nằm giữa hai tia $MA$ và tia $MO$ . Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ lên $OM$ và $K$ là trung điểm của dây cung $BC$ .

1)
Chứng minh tứ giác $MOKA$ nội tiếp một đường tròn.
2)
Chứng minh $MB.MC = MA^{2} = MH.MO$ và $HA$ là phân giác của góc $BHC$ .
3)
Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $AM$ , cắt đoạn thẳng $AH, AC$ lần lượt tại điểm $N$ và điểm $P$ . Chứng minh $N$ là trung điểm của $BP$ .

Câu V

0,5 điểm

Với các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + 2b + 3c = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M = 2ab - 6bc + 3ca.$

HẾT