Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Cầu Giấy, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{1}{2(\sqrt{x} - 3)}; B = \dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} - \dfrac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{12}{x - 3\sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 9$ .

a)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$ .
b)
Chứng minh $B = \dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$ .
c)
Tìm các giá trị của $x$ để $B : A \ge x - 7$ .

Câu II

2,5 điểm

1)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Quãng đường từ Hà Nội đến Điện Biên dài 465km. Nhân dịp kỉ niệm 70 năm chiến thắng Điện Biên Phủ, một ô tô chở khách du lịch đi từ Hà Nội đến Điện Biên. Sau khi đi được 240km, ô tô dừng lại nghỉ trưa 1 giờ. Trên quãng đường còn lại ô tô giảm vận tốc 10km/h so với lúc đầu. Biết tổng thời gian từ khi xuất phát đến khi tới Điện Biên là 9 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô lúc đầu. (Giả định rằng vận tốc trên mỗi đoạn đường trước và sau khi nghỉ là không đổi)
2)
Một chiếc bình hình trụ cao 1 mét, đường kính đáy 40 xen-ti-mét. Hỏi bình đó đựng được tối đa bao nhiêu lít nước? (Bỏ qua bề dày của vỏ bình và lấy $\pi \approx 3,14$ ).

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 3\sqrt{x - 2} - \dfrac{1}{y} = 1 \\ \sqrt{x - 2} + \dfrac{4}{y} = 9 \end{cases}$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $y = 2mx - 2m + 1$ (m là tham số) và parabol (P): $y = x^{2}$ .
1. a)
  Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi $m = 2$ .
2. b)
  Tìm $m$ để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn $\dfrac{-3}{x_{1} + x_{2} - 1} = x_{1}.(x_{2} - 2) - 2x_{2}$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn (O; R). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn, vẽ đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của MN.

1)
Chứng minh 4 điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn.
2)
Chứng minh $AB^{2} = AM.AN$
3)
Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại P. Đường thẳng NP cắt AC tại I. Chứng minh rằng $\widehat{BHM} = \widehat{BPM}$ và I là trung điểm của AC.

Câu V

0,5 điểm

Cho các số thực $x, y$ thoả mãn $x^{2} + y^{2} - 4x - 12 = 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2}$ .