Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Trường THCS Nguyễn Trường Tộ, Hà Nội

Câu 1

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $P = \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}$ ; $Q = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right) : \dfrac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức P khi $x = 9$ .
2)
Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{Q}{P}$ .
3)
Tìm $x$ nguyên lớn nhất để $A < \dfrac{3}{4}$ .

Câu 2

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{1}{y - 2} = 4 \\ \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{3}{y - 2} = 5 \end{cases}$
2)
Cho parabol (P): $y = x^{2}$ và đường thẳng (d): $y = 2mx - m^{2} + m + 1$
1. a)
  Với $m = 3$ , xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P).
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $|x_{1} - x_{2}| = 4$ .

Câu 3

1,5 điểm

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong thời gian nhất định. Trên thực tế, nhờ hợp lí hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó người công nhân hoàn thành công việc sớm hơn 2 giờ. Hỏi mỗi giờ người đó dự định làm bao nhiêu sản phẩm?

Câu 4

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và một đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại $C, D$ . Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $d$ sao cho $MC > MD$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ . Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(O)$ ; $A, B$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là trung điểm $CD$ . Chứng minh:

a)
Năm điểm $A, B, M, O, H$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Chứng minh $MA^{2} = MC.MD$ và $HM$ là tia phân giác của $\widehat{AHB}$ .
c)
Vẽ $DK // AM$ $(K \in AB)$ . Chứng minh $HK // AC$ .

Câu 5

0,5 điểm

Cho $x, y$ là những số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{y + \sqrt{2}}$ .